点分治学习笔记

点分治学习笔记

基本思想

现在假设我们有一颗以(root)为根的树

考虑所有树中的路径。

我们发现：要么该路径经过(root)（包括端点在(root)上的路径），要么该路径在(root)的子树

那么，对于这些路径，我们只要先处理经过(root)的路径，对于剩下的路径，我们分别以它的孩子为根进行同样的操作即可（因为剩下的路径一定在以(root)为根的子树里）。这便是点分治

U.png)

（放个图充实版面）

例题：POJ 1741 Tree

题目大意：

给你一棵树，求点对((u,v))的数量，使得(u)和(v)之间的距离不超过(k)

Solution:

考虑点分治。

对于当前树的每个节点，我们记录深度(dep_i)（根节点深度为(0)），以及除根节点以外最远的祖先(fa_i)

我们现在只考虑经过根节点的路径数。

于是我们得到：

[sum[fa_i e fa_j land dep_i+dep_jle k] ]

其中：

([])表示当表达式为真是取值为(1)，否则为(0)

(land) 表示逻辑与

该式等于：

[sum [dep_i+dep_j le k]-sum[fa_i=fa_j land dep_i+dep_j le k] ]

显然，式子的后边可以递归分治地解决（相当于以(fa_i)为根）

我们只要考虑前边怎么算了。

而前面只需要一个(two) (pointers) 就解决了：

我们把所有的(dep)排个序，让(l)指向最小的，让(r)指向最大的那个

从左到右遍历(l)，如果(dep_l+dep_rle k)，则说明对于任意满足(l < t <= r)的(t)，都有(dep_l+dep_tle k)

即此时所有点对((l,t))都符合调价。于是我们只需将答案加上(r-l)即可

注意：为防止题目出一条链来卡点分治，使复杂度退化为(O(n^2)) ，我们需要将树的重心作为根节点，以保证复杂度为(O(n log n))

Q:这做法复杂度看上去像(O(n^2))的啊

A:不是的。如果我们以树的重心为根节点，我们至多下降(logn)层，而每一层的操作是(O(n))的，所以总体的时间复杂度是(O(n log n))的

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e4+5;
struct Node{
	int to;
	int next;
	int w;
}edge[maxn<<1];
int head[maxn],cnt;
inline void add(int x,int y,int w){
	edge[++cnt].next=head[x];
	edge[cnt].to=y;
	edge[cnt].w=w;
	head[x]=cnt;
}
int n;
int K;
int size[maxn];
int f[maxn];
int ans;
int dis[maxn];
vector<int>dep;
int v[maxn];
int tot;
int root;
inline void dfs1(int x,int fa){
	size[x]=1; f[x]=0;
	for(int i=head[x];i!=0;i=edge[i].next){
		int k=edge[i].to;
		if(k==fa) continue;
		if(v[k]) continue;
		dfs1(k,x);
		size[x]+=size[k];
		f[x]=max(f[x],size[k]); 
	}
	f[x]=max(f[x],tot-f[x]);
	if(f[x]<f[root]) root=x;
}
inline void dfs2(int x,int fa){
	dep.push_back(dis[x]);
	size[x]=1;
	for(int i=head[x];i!=0;i=edge[i].next){
		int k=edge[i].to;
		int w=edge[i].w;
		if(v[k]) continue;
		if(k==fa) continue;
		dis[k]=dis[x]+w;
		dfs2(k,x);
		size[x]+=size[k];
	}
}
inline int calc(int x,int tmp){
	int res=0;
	dep.clear();
	dis[x]=tmp;
	dfs2(x,0);
	sort(dep.begin(),dep.end());
	int l=0; int r=dep.size()-1;
	while(l<r){
		if(dep[l]+dep[r]<=K) res+=r-l,l++;
		else r--;
	}
	return res;
}
inline void dfs3(int x){
	ans+=calc(x,0); 
	v[x]=1;
	for(int i=head[x];i!=0;i=edge[i].next){
		int k=edge[i].to;
		int w=edge[i].w;
		if(v[k]) continue;
		ans-=calc(k,w);
		f[0]=tot=size[k];
		dfs1(k,0);
		dfs3(k);	
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int x,y,w;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
		add(x,y,w);
		add(y,x,w);
	}
	scanf("%d",&K);
	f[0]=n; tot=n;
	dfs1(1,0);
	dfs3(root);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}