来补一个小小的科技/cy
先咕着，切完eJOI再来填/doge
UPD 2020.7.23：前来填坑。u1s1 填坑是真心难受，以后争取不做鸽子（flag
定义
若一个回路经过一张图的每条边恰好一次，那么这个回路称为这张图的欧拉回路。
若一条起终点不同的路径经过一张图的每条边恰好一次，那么这条路径称为这张图的欧拉路。
无向图/有向图
无向图判定
- 若一张无向图连通，且所有点的度数都是偶数（可以理解为，沿某条没走过的边从任意一个点出来之后，一定可以延没走过的边回到这个点），那么它有欧拉回路，任意一个点都可以充当起终点；
- 若一张无向图连通，且恰有两个点的度数是奇数，其他点的度数都是偶数（偶点如上理解，奇点就是一个不进去了，一个不出来了），那么它有欧拉路，这两个奇点任意一个是起点，另一个是终点；
- 否则啥也没有。
有向图判定
- 若一张有向图的基图连通，且所有点的入度等于出度（同上），那么它有欧拉回路，任意一个点都可以充当起终点；
- 若一张有向图的基图连通，且恰有一个点的出度等于入度加一，一个点的入度等于出度加一，其他点的入度都等于出度（同上），那么它有欧拉路，起点是出度等于入度加一的点，终点是入度等于出度加一的点；
- 否则啥也没有。
求法
无向图/有向图的欧拉回路/欧拉路（一共四种情况）的求法是类似的。
首先按照上述判定找到起点，然后DFS。
考虑从起点开始DFS。每到达一个节点，就选择连接当前点的任意一条未走过的边（对于有向图则是出边）（若没有则退出），将它标记成走过并沿它走出去，DFS到下一个节点，回溯时直接返回。也就是说在此节点只往外走一次，其他边不管了，反正其他边的话，将来会回到此节点继续走的。不过这是精神胜利法，反例还是能找出，比如下图，以无向图欧拉回路为例：
在上图中，已标号边的是已经走过的。从(1)开始，走到(5)的时候，它选择了走到(4)并回(1)而非走到(6/7)。这样一回去，哦吼，无路可走了。不难证明，遇到这样的情况后，把所有没走过的边，带着所有连接的点给抽出来得到一张子图，这个子图一定有欧拉回路/欧拉路（你要求啥就有啥）。假设我们已经找到了这个子图的欧拉回路/欧拉路，那么剩下来的事情就是将当前环和子图的欧拉路/欧拉回路合并起来。很显然，将子图的欧拉路/欧拉回路在连接处嵌入当前环是一种合并方法，如下图：
具体嵌入方法是：每次DFS回溯的时候不立即返回，取而代之的是将“将此边信息压入欧拉回路/欧拉路序列（即要求的东西）”这个操作放到回溯的时候完成，并继续找下一条邻接表中的未走过的边。这样最后欧拉回路/欧拉路序列是倒序的，reverse一下即可。正确性很好理解，进入子图之前显然是回溯回来的，此时已将所有在子图之后走过的边压入，紧接着就将子图压入，再按环的顺序倒退回去，将在子图之前走过的边压入。
最后说一句，我们可以类似网络流里的当前弧优化（我知道这个是因为以前学过网络流，现在忘掉内容了，只记得这个名字），实时记录当前走到当前点邻接表中的哪条边了。另外，对于无向图中的删边，我们要将邻居邻接表中连向自己的边也一并标记掉，我们可以预先开跟邻接表大小相等的反边vector。至于链式前向星，个人不喜欢那东西。
时间线性。
下面是简短的代码：
vector<edge> pa;//edge是存储边信息的类型
void dfs(int x=st){//st为找出的起点
for(int &i=now[x];i<nei[x].size();i++)if(!ban[x][i]){//未走过
int y=nei[x][i];
ban[x][i]=ban[y][reg[x][i]]=true;//标记
dfs(y);
pa.pb(edge(x,y));//压入
}
}
例题
CodeForces 1361C - Johnny and Megan's Necklace
洛谷 P6305 - 循环排序
混合图
这个听说要网络流/jk，暂时不会，留坑，嗷嗷待补。