KMP算法

KMP算法

KMP是一种字符串匹配算法。此算法的核心在于(kmp)数组以及它的求法。

（以下约定字符串下标从(1)开始）

(kmp)数组

定义(kmp)数组：(kmp_{a,i})表示字符串(a)的前缀(a_{1sim i})的最长相同真前后缀的长度，即(kmp_{a,i}=maxlimits_{jin[0,i),a_{1sim j}=a_{i-j+1sim i}}{j})。显然，(kmp_{a,1}=0)恒成立。例如若(a= exttt{abacaabac})，那么(kmp_a=[0,0,1,0,1,1,2,3,4])。

(kmp)数组的求法

给定一个字符串(a)，现在我们要求(kmp_a)。

(forall iin(1,|a|])，假设已经知道了(kmp_{a,1sim i-1})，现在要求出(kmp_{a,i})。考虑试试在(a_{1sim i-1})的一组相同真前后缀的后面同时加上(1)个字符，看看这(2)个字符相不相同。设当前试的的为(a_{1sim i-1})的长度为(now)的相同真前后缀。执行以下步骤：

1. 从最长的开始试起，即初始令(now=kmp_{a,i-1})。

2. 如果往后加的(2)个字符（分别为(a_{now+1},a_i)）相等的话，则匹配成功，直接令(kmp_{a,i}=now+1)并结束（因为比它长的相同真前后缀都试过了）；否则找次长一点的(a_{1sim i-1})的相同真前后缀，不难发现(kmp_{a,now})就是次长一点的长度（原因见下图），便令(now=kmp_{a,now})。

   

3. 不断重复第(2)步，如果中途没有结束，那么直到(now=0)的时候，令(kmp_{a,i}=[a_1=a_i])并结束。

这样先令(kmp_{a,1}=0)，然后按上述方法从(i=2)到(i=|a|)递推，即可求出(kmp_a)。

求(kmp)数组的代码如下：（很短吧？很好写吧？很爽吧？

void kmp_init(){//求kmp数组
	kmp[1]=0;//恒成立
	for(int i=2;i<=n;i++){//从i=2递推到i=n
		int now=kmp[i-1];//初始化now
		while(now&&a[now+1]!=a[i])now=kmp[now];//重复第2步
		kmp[i]=a[now+1]==a[i]?now+1:0;
	}
}

时间复杂度

上述方法求(kmp)数组的时间复杂度是是线性的(mathrm O(|a|))。

证明：我们可以把(now)看成一个定义在for外面的变量来研究它的增减，kmp[i]=now+1;可理解成now++;，因为下一轮循环的时候就会执行now=kmp[i-1];。不难发现，for里的第(2)行while会使(now)进行不增变化（也就是可能不变，可能减少），第(3)行会使(now)增加(0sim 1)。那么(now)增加(1)的次数为(mathrm O(|a|))，于是(now)减少也只能有(mathrm O(|a|))次机会了。得证。

应用

KMP算法可以用来字符串模式匹配（这个Z算法和哈希也能做到线性复杂度）。看到网上很多blog都是用(kmp)数组来优化暴力匹配，但我有更好理解的方法（复杂度不变）。与Z算法类似，我们可以把模式串(b)隔一个不常用字符接到文本串(a)前面，即令(c=b+ exttt!+a)。然后求出(kmp_c)，从(i=|b|+2)到(i=|c|)扫一遍，如果(kmp_{c,i}=|b|)，那么在(a)的(i-|b|+1-|b|-1=i-2|b|)处匹配成功。

不仅如此，如果想专门求字符串(a)的某前缀的最长相同真前后缀的长度，哈希的复杂度就无异于暴力了（因为匹配成败没有单调性，不好二分）。Z算法稍微好一点，(forall iin[1,|a|])，令(forall jin [1,z_{a,i}],ans_{i+j-1}=max(ans_{i+j-1},j))，这个可以用差分或线段树实现，复杂度都带(log)，没有KMP的线性复杂度好。