这玩意鸽了好多（(>5)）天，主要是因为那个 OmNom jxd 作业太难了。
长链剖分跟重链剖分统称树链剖分，所以它们很相似。
重剖是按照子树大小 (sz) 来找重儿子 (wson)，而长剖是按照子树最大深度 (mxdep) 来找深儿子 (dson)。每个点在且仅在一条长链里。
一个小性质：类比跳重链是对数复杂度的，跳长链是根号的。证明显然。但是不知道有什么用？
长链与叶子显然形成双射（so does 重链）。
几个应用
应用啥的还是跟重剖很本质不同的。
(mathrm O(1)) 求 (k) 级祖先
(omega(1)) 的很多，倍增或者跳重链都是对数的。长剖可以做到 (mathrm O(nlog n)-mathrm O(1))。
我们考虑找到唯一的 (x) 满足 (2^xleq k<2^{x+1})，这个预处理个 (log) 数组即可做到。我们预处理出倍增跳祖先的数组，那么直接就可以跳到 (2^x) 级祖先。接下来需要再往上跳 (k-2^x)。由于 (k<2^{x+1})，所以 (k-2^x<2^x)。而既然当前处于的节点是某节点往上跳 (2^x) 步得到的，那么它所在长链长度一定 (geq 2^x)。我们考虑预处理时，对每条长链，求出其中每个点关于链顶对称的节点。由于每个点在且仅在一条长链中，所以这一步是线性的。那么再往上跳 (k-2^x) 就直接做了（就调用当前节点所在长链的相关数组，可能在链顶之上也可能在之下）。
类似 dsu on tree 的东西
这大概算是长剖最最常用的应用了吧。
zszz，dsu on tree 需要满足子树 (x) 的信息量为 (mathrm O(sz_x))。那更强地，如果满足为 (mathrm O(mxdep_x-dep_x)) 呢？那可以把 dsu on tree 中继承重儿子改成继承深儿子，复杂度是线性的。
证明：显然所有浅儿子 (x) 对复杂度贡献 (mathrm O(mxdep_x-dep_x))。而浅儿子和长链形成双射，所以可以看成每条长链（链顶为 (x)）对复杂度贡献 (mathrm O(mxdep_x-dep_x))，而这恰好是长链长度！根据每个点在且仅在一条长链中，复杂度得证。
这玩意可以优化某些关于深度的统计，还可以优化 DP 哦（可以看成较复杂的关于深度的统计）。
优化贪心
这大概算是长剖最最不常用的应用了吧。
见例题 bzoj3252 和 cf526G。