ICG 合并时 SG 函数运算法则 证明

以 0.6 的概率被抽到今天早上考语文和物理，然后两场直接瞎填，语文剩 40min，物理剩 1h，各证明了一个命题。其中这个是物理考试证的（

说起来 1.5 years 前我好像在洛谷博客上胡过一个证明，然后不知为啥删掉了。当年我 sb，不知道把多个 ICG 相加归约成两个 ICG 相加，然后还证出来了，也是蛮牛逼的（

---

ICG 合并时 SG 函数运算法则：若 (G=sumlimits_{i=1}^nG_i)，则 (mathrm{SG}(G)=igopluslimits_{i=1}^nmathrm{SG}(G_i))。

证明：要证原命题，显然只要证若 (G=G_1+G_2)，则 (mathrm{SG}(G)=mathrm{SG}(G_1)oplusmathrm{SG}(G_2))。只要证对于任意 (G) 内的局面 (P=P_1+P_2)，其中 (P_1) 是 (G_1) 内的局面，(P_2) 是 (G_2) 内的局面，都有 (mathrm{SG}(P)=mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2))。

考虑对 (G) 的局面 DAG 归纳：

1. 对于任意出度为 (0) 的 (P)，可反证 (P_1,P_2) 在各自的 DAG 中出度也为 (0)，于是有 (mathrm{SG}(P)=mathrm{SG}(P_1)=mathrm{SG}(P_2)=0)。所以 (mathrm {SG}(P)=mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2))；

2. 记局面 (X) 在所在 DAG 中的后继局面集合为 (delta(X))。假设对于所有 (P'in delta(P))，都有 (mathrm{SG}(P')=mathrm{SG}!left(P'_1 ight)oplusmathrm{SG}!left(P'_2 ight))。此时需要证 (mathrm{SG}(P)=mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2))。根据 SG 函数定义，只要证 (mathrm{mex}{mathrm{SG}(P')mid P'indelta(P)}=mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2))。

   根据 ICG 合并的定义，显然有 (delta(P)={P_1+P'mid P'indelta(P_2)}cup{P'+P_2mid P'indelta(P_1)})。于是只要证 (mathrm{mex}left({mathrm{SG}(P_1+P')mid P'indelta(P_2)}cup{mathrm{SG}(P'+P_2)mid P'indelta(P_1)} ight)=mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2))。根据假设，即 (mathrm{mex}left({mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P')mid P'indelta(P_2)}cup{mathrm{SG}(P')oplusmathrm{SG}(P_2)mid P'indelta(P_1)} ight)=mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2))。

   根据 (mathrm{mex}) 的定义，只要证：

   1. (forall xin[0,mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2)),xin{mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P')mid P'indelta(P_2)}cup{mathrm{SG}(P')oplusmathrm{SG}(P_2)mid P'indelta(P_1)})。

      证明：由 SG 函数定义，此命题显然弱于 (forall xin[0,mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2)),xin{mathrm{SG}(P_1)oplus pmid pin[0,mathrm{SG}(P_2))}cup{poplusmathrm{SG}(P_2)mid pin[0,mathrm{SG}(P_1))})。令 (a=mathrm{SG}(P_1),b=mathrm{SG}(P_2))，得到 (forall xin[0,aoplus b),xin{aoplus pmid pin[0,b)}cup{poplus bmid pin[0,a)})，即对于每个 (x<aoplus b) 都能找到两个数异或和为 (x)，其中一个是 (a) 或 (b)，另一个小于异于前者的那个。显然 (a,b) 是对称的。

      考虑归纳：

      1. 当 (a,b) 最高位数为 (0) 时， 只有 (a=b=0) 一种情况，显然符合；
      2. 当 (a,b) 最高位数 (>0) 时，假设最高位数小于当前位数的 (a',b') 都符合。考虑对 (a,b) 最高位上的数 (A,B) 分类：
         1. (A=B=1)。那么 (aoplus b) 的当前位显然为 (0)，于是 (x) 的当前位为 (0)。考虑凑异或和等于 (x) 的两个数的当前位都取 (1)，然后显然能归约到位数小 (1) 的问题上，根据假设有方案；
         2. (A=0,B=1)。那么 (aoplus b) 的当前位为 (1)，于是 (x) 的当前位可能为 (0) 或 (1)。为 (1) 的话就类似上面归约，当前位一个取 (0) 一个取 (1)；对于为 (0) 的，那么就考虑 (x=aoplus(xoplus a))，(a) 就是 (a) 了，(xoplus a) 的当前位显然是 (0)，一定 (<b)。

      得证；

   2. (mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2)) otin{mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P')mid P'indelta(P_2)}cup{mathrm{SG}(P')oplusmathrm{SG}(P_2)mid P'indelta(P_1)})。

      证明：由 SG 函数定义，此命题显然弱于 (mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2)) otin{mathrm{SG}(P_1)oplus pmid pinmathbb N,p eq mathrm{SG}(P_2)}cup{poplusmathrm{SG}(P_2)mid pinmathbb N,p eq mathrm{SG}(P_1)})。即：

      1. (forall pinmathbb N(p eq mathrm{SG}(P_2)),mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2) eq mathrm{SG}(P_1)oplus p)。证明：根据异或消去律，(mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2) eq mathrm{SG}(P_1)oplus p) 等价于 (mathrm{SG}(P_2) eq p)，然后显然得证；
      2. (forall pinmathbb N(p eq mathrm{SG}(P_1)),mathrm{SG}(P_1)oplusmathrm{SG}(P_2) eq poplusmathrm{SG}(P_2))。证明同上。

      得证。

得证。