首先建出支配树，如果两个点有除了 1 以外的公共支配点那就废了。那么就猜想，仅有公共支配点 1 这个条件也是充分的，这样就相当于求 (mathrm{LCA}(x,y)=1) 的点对数量，就太简单了。网上所有题解都对这个猜想的证明一笔带过（不给证明写个铲铲的题解），仿佛很显然一样，我曾一度怀疑是不是世界上只有我一个人是弱智。后来找到了 CC 上的官方题解才发现确实挺难证的。
下面通篇翻译（bushi）CC 官方题解，就当报复一下社会。
之前做的支配树题最多是节点去截路径，这次是两条路径互刚了，所以在相邻两支配点之间走的路径交不交也是要考虑的。对支配树上相邻两个节点 ((x,y))，其中 (x) 是 (y) 的最近支配点，我们来考察一下 (x o y) 所有可能的路径中所有可能的节点 (z) 有哪些：(z) 显然不被 (y) 支配，因为存在 (1 o x o z) 的不经过 (y) 的路径，所以 (z) 一定不属于子树 (y)；而 (z) 又肯定被 (x) 支配，否则存在 (1 o z o y) 的不经过 (x) 的路径，与 (x) 支配 (y) 矛盾，所以 (z) 一定属于子树 (x)。总结下来就是 (z) 可能是 (operatorname{subtree}(x)-operatorname{subtree}(y)-{x}) 中任意一个节点。这样对任意支配树上直链，它每一条边都是独立的一节，可以分开来分析。
其实刚才挖的过深了。设 (1 o x) 在支配树上为 (1=x_0 o x_1 ocdots o x_n=x)，(1 o y) 为 (y_{0sim m})，则跟据上面的理论 (x_1 o x_n) 的任意路径的任意节点都是 (x_1) 的后代，(y_1 o y_m) 也都是 (y_1) 后代，而 (mathrm{LCA}(x,y)=1)，易知 (operatorname{subtree}(x_1)capoperatorname{subtree}(y_1)=varnothing)。所以 (x_1 o x_n,y_1 o y_m) 这两条路径是永不相交的，接下来只需要考虑 (1 o x_1,1 o y_1) 与之相交性。
先尝试构造 (1 o x_1) 与 (y_1 o y_m) 不相交，那么必不经过 (y_1)，而一旦不经过 (y_1)，它也无法经过 (y_1) 支配的 (y_{2sim m})，所以这就等价于要找 (1 o x_1) 不经过 (y_1)。这就是节点刚路径，由于 (y_1) 不支配 (x_1)，一定存在不经过 (y_1) 的 (1 o x_1) 路径。然后考虑找不交于 (1 o x) 的 (1 o y_1) 路径，找到了就 win 了。
现在先来扯一些其它事情：对两个不相邻的点 (x,y)，如果 (x o y) 不存在必经点，那么必存在两条除端点外不相交的 (x o y) 路径。回想起学点双、边双的时候双连通的两个等价定义：无必经边 / 点，以及存在两条没有交边 / 点的路径（两点一边的点双除外），当时在 blog 没有给出证明，想当然地认为很好证，仔细想想发现并不会从前者推出后者。其实有 / 无向图必经边 / 点问题专门有个定理叫门杰定理，是拓展版，内容是最小的割边 / 点集大小为 (k) 当且仅当最多有 (k) 条互不相交路径。证明非常巧妙的运用最大流最小割定理，那么有向图就显然了，必经点可以点边转化；而无向图最大流、最小割看似不会做（当年还以为不可做来着 2333），其实都将无向边正反建两条边即可：最大流中易证一条边正反走两遍一定不是最优，最小割中一组割 ((S,T)) 只要割掉 (S o T) 的边的 (S o T) 方向有向边，恰与原无向边一一对应。
扯完了，继续证明。由于 (1) 最近支配 (y_1)，(1) 和 (y_1) 之间没有必经点。如果存在边 ((1,y_1)) 那就 win 了对不；否则必存在 (1 o y_1) 的两条除端点不相交路径，如果其中有一条跟 (1 o x) 不交那就 win 了，否则设两者与 (1 o x) 交点按顺序分别为 (a_{1sim s},b_{1sim t})。不妨设 (a_s) 比 (b_t) 离 (1) 更远，那么我们可以先沿着第一条路径走到 (a_s) 之后沿原定 (1 o x) 路径后半段走到 (x) 作为新 (1 o x) 路径，然后走第二条路径作为 (1 o y_1)，这样 (b_{1sim t}) 在 (1 o x) 上全部消失了，而 (a) 和 (b) 又不交，证毕！