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如何评价一年多以后再来补省选题

考虑莫反，枚举 gcd（以下 (T) 为生成树，(G) 为原图，(G[x]) 为只保留边权为 (x) 的倍数得到的子图，(T) 为 (P) 的生成树不严格地记为 (Tin P)）：

[egin{aligned} ans&=sum_{Tin G}sumlimits_{i=1}^{n-1}w_{T_i}mathop{gcd}_{j=1}^{n-1}w_{T_j}\&=sum_kksum_{Tin G[k]}sum_{i=1}^{n-1}w_{T_i}left[mathop{gcd}_{j=1}^{n-1}dfrac{w_{T_j}}k=1 ight]\&=sum_kksum_{Tin G[k]}sum_{i=1}^{n-1}w_{T_i}sum_{omidfrac{w_{T_1}}k,frac{w_{T_2}}k,cdots,frac{w_{T_{n-1}}}k}mu(o)\&=sum_omu(o)sum_kksum_{Tin G[ko]}sum_{i=1}^{n-1}w_{T_i}\&=sum_omu(o)sum_kkoperatorname{calc}_{ko} end{aligned} ]

由于值域有 (v=152501) 的良心限制，考虑计算出 (1sim v) 内每个 (operatorname{calc}_i)。那这就是个生成树权值和的和，把一次多项式塞进去跑矩阵树即可。总复杂度 (mathrm O!left(vn^3 ight))，4e9 了已经，考虑优化。

显然只要计算那些满足有至少 (n-1) 条边边权为 (i) 的倍数的 (operatorname{calc}_i)，其它的一个生成树都没有一定是 (0)。那这些有多少呢？到 SF 主页里查一下 (maxmathrm d) 大概是 (200) 以内，(m=mathrm O!left(n^2 ight))，所以把所有边权的因数放到一个可重集里，里面所有重数 (geq n-1) 的数最多有 (mathrm O!left(dfrac{200n^2}n ight)=mathrm O(200n)) 种。总复杂度 (mathrm O!left(200n^4 ight))，1e8 差不多行，实际上不是很跑的满。

最后线对计算 (ans) 即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
const int mod=998244353;
int qpow(int x,int y){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1)res=1ll*res*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int inv(int x){return qpow(x,mod-2);}
const int N=40,M=N*N,V=152510;
vector<int> prm;
bool vis[V];
int mu[V],dld[V+1];
void sieve(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<V;i++){
		if(!vis[i]){
			prm.pb(i);
			mu[i]=-1;
			dld[i]=1;
		}
		for(int j=0;j<prm.size();j++){
			int x=prm[j];
			if(i*x>V)break;
			vis[i*x]=true;
			if(i%x){
				mu[i*x]=mu[i]*mu[x];
				dld[i*x]=i;
			}
			else{
				dld[i*x]=dld[i];
				if(dld[i*x]==1)mu[i*x]=0;
				else mu[i*x]=mu[dld[i*x]]*mu[i*x/dld[i*x]];
				break;
			}
		}
	}
}
int n,m;
int fr[M],to[M],w[M];
int cnt[V];
int det[V];
struct poly{
	int a,b;
	poly(int x=0,int y=0){a=x,b=y;}
	friend poly operator+(poly x,poly y){return poly((x.a+y.a)%mod,(x.b+y.b)%mod);}
	friend poly operator-(poly x,poly y){return poly((x.a-y.a)%mod,(x.b-y.b)%mod);}
	friend poly operator*(poly x,poly y){
		return poly((1ll*x.a*y.b+1ll*x.b*y.a)%mod,1ll*x.b*y.b%mod);
	}
	friend poly operator/(poly x,poly y){
		int a=x.a,b=x.b,c=y.a,d=y.b;
		int e=(1ll*a*d-1ll*c*b)%mod*inv(1ll*d*d%mod)%mod,f=1ll*b*inv(d)%mod;
		return poly(e,f);
	}
	void operator+=(poly x){*this=*this+x;}
	void operator-=(poly x){*this=*this-x;}
	void operator*=(poly x){*this=*this*x;}
	void operator/=(poly x){*this=*this/x;}
}a[N][N];
void swp(int x,int y){
	for(int i=1;i<=n;i++)swap(a[x][i],a[y][i]);
}
void tadd(int x,poly v,int y){
	for(int i=1;i<=n;i++)a[y][i]+=v*a[x][i];
}
int gauss(){
	poly ans(0,1);
	for(int i=1;;i++){
		int row=0,col=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=i;k<=n;k++)if(a[k][j].b){row=k,col=j;break;}
			if(row)break;
		}
		if(!row)break;
		swp(i,row);
		poly iv=poly(0,1)/a[i][col];
		for(int j=i+1;j<=n;j++)tadd(i,poly(0,-1)*a[j][col]*iv,j);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=ans*a[i][i];
	return ans.a;
}
int main(){
	sieve();
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",fr+i,to+i,w+i),cnt[w[i]]++;
	for(int i=1;i<=152501;i++){
		int cnt0=0;
		for(int j=i;j<=152501;j+=i)cnt0+=cnt[j];
		if(cnt0<n-1)continue;
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int j=1;j<=m;j++)if(w[j]%i==0){
			int x=fr[j],y=to[j],v=w[j];
			a[x][x]+=poly(v,1),a[y][y]+=poly(v,1);
			a[x][y]-=poly(v,1),a[y][x]-=poly(v,1);
		}
		n--,det[i]=gauss(),n++;
//		cout<<i<<":"<<det[i]<<"!!
";
	}
	int ans=0;
	for(int o=1;o<V;o++)for(int k=1;k*o<V;k++)(ans+=1ll*mu[o]*k*det[k*o]%mod)%=mod;
	cout<<(ans+mod)%mod;
	return 0;
}