支配树上支配集，支配树下我和你。（骗人的，支配树跟支配集毛关系没有）
支配树是用来求解有向图必经点问题的算法。
（u1s1 算法的证明根本不体现支配树的本质，学了也是白学，我是强迫症犯了才补上证明的，不要学我）
基础概念
对于一个有向图，选定 (1) 为起点（下文都假定 (1) 能到所有点，无自环，不失一般性），对节点 (x,y)，(y) 支配 (x) 当且仅当 (y) 是 (1 o x) 的必经点，称为 (x) 的支配点。不难证明支配关系的自反性、反对称性、传递性。
支配关系还有个类似传递性的神奇性质：若 (x
eq y) 都支配 (z)，则 (x,y) 必有支配关系。若不然，任找一条 (1 o z) 简单路径，由支配性知 (x,y) 都在上面：若 (x) 离 (1) 更近，由于 (x) 不支配 (y)，所以可以从 (1) 绕过 (x) 到 (y) 再到 (z)，与 (x) 支配 (z) 矛盾；(y) 更近的情况类似。那么易证（读者自证不难）：任取一条 (1 o x) 简单路径，上面所有 (x) 的支配点按离 (1) 的距离从近到远排列依次为 (1=x_0 o x_1 ocdots o x_s=x)，则对任意 (iin[0,s]) 知道 (x_i) 的所有支配点是 (x_{0sim i})。
称 (x) 的所有支配点当中除了自己离自己最近的那个为 (x) 的最近支配点，记作 (idom_x)，(idom_1) DNE。将所有点 (x eq 1) 往 (idom_x) 连一条边，得到一棵以 (1) 为根的内向树。若不然，必定存在大小大于 (1) 的环，由传递性可知存在 (x) 支配 (idom_x)，与支配关系的反对称性矛盾。这棵树就是原图的支配树。显然，(x) 的全部支配点就是它在支配树上的全部祖先，并且排列顺序与在原图任意一条 (1 o x) 简单路径中离 (1) 的距离从近到远的顺序一致。
支配树的求法
显然，若对每个点 (x eq 1) 都知道了 (idom_x)，那么支配树自然就求出来了。
外向树
显然，以 (1) 为根的外向树的支配树就是自己的反图。
DAG
将 DAG 拓扑排序，那么显然，加入一个点对拓扑序在它之前的点的导出子图的支配树并没有影响。所以考虑按拓扑序依次加入，每次只要考虑当前点的最近支配点是谁，插到树上就可以了。
加入点 (x) 的时候，考虑所有边 ((y,x))，由于是按照拓扑序，所有 (y) 在之前已经考虑过了。设 (z) 是所有 (y) 在支配树上的 LCA，易证有且仅有 (z) 的所有支配点是 (x) 的所有支配点，即 (idom_x=z)。
考虑实现。需要实时维护 LCA，考虑树上倍增，每次接一个叶子，确实是可以动态维护倍增数组的，而且很好写，复杂度线对。贴个 P2597 的板子吧。
一般图的 tarjan 算法
一般有向图也是有线对复杂度的求支配树的算法的，叫做 tarjan 算法（Tarjan 老爷子真是 nb，总能发明很难证的算法，而且他自己还总是会证）。虽然 DAG 的特殊求法复杂度跟 tarjan 算法复杂度一样，但是好写的很多，所以 DAG 一般还是写特殊求法。
引入半支配点
找到原图从 (1) 出发的一棵 dfs 树（Tarjan 老爷子好像很喜欢 dfs 树耶），不失一般性地，下文认为点 (i) 的 dfs 序就是 (i)。对 (y<x)，若存在一条 (y o x) 路径满足除端点外全程大于 (x)，则称 (y) 是 (x) 的半支配点。
引理：对 (x<y)，(x o y) 的任意一条路径都必定经过它们在 dfs 树上的某个公共祖先。证明：设 (z=mathrm{LCA}(x,y))，则把 (z) 的祖先全删除之后 (x,y) 所在子树就裂开了，前向边和后向边对连通性屁帮助没有，而横叉边只能是大号点到小号点，所以此时 (x) 是不能到达 (y) 的。
跟据引理，不是 (x) 的祖先的节点 (y) 一定不是 (x) 的半支配点，因为 (y o x) 一定经过小于 (x) 的 (x) 的祖先（由于 (y<x)，所以 (y) 不可能是 (x) 的后代）。
(x) 的所有支配点也一定是 (x) 在 dfs 树上的祖先，若不然，删去之后显然可以沿着 dfs 树从 (1) 走到 (x)。
(x) 所有支配点都是半支配点的祖先。证明：若存在半支配点 (y) 是支配点 (z) 的祖先，则可以先沿 dfs 树 (1 o y)，然后从 (y) 走一条全程大于 (x) 的路径到 (x)，自然地绕过了 (z)，与支配性矛盾。
设 (x) 的 dfs 序最小的半支配点为最远半支配点，记作 (sdom_x)，亦即在 dfs 树上离 (1) 最近的半支配点。我们有 (idom_xleq sdom_x)，知道最远半支配点是对最近支配点的一个良好近似，对求最近支配点有帮助。
最远半支配点的求法
对点 (x eq 1)，枚举所有半支配点到它的路径的一切可能的前驱 ((y,x))：
- 若 (y<x) 则直接用 (y) 更新 (sdom_x)。正确性显然，充分性的话，由于 (y<x)，所以 (y) 只能是半支配点到 (x) 的路径的端点。
- 若 (y>x)，设 (w=mathrm{LCA}(x,y))，则用树上路径 (w o y)（掐头留尾）中所有 (z) 的 (sdom_z) 来更新 (sdom_x)。证明：首先 (x=w) 的情况不证自证，下面考虑 (x eq w) 的情况。首先想直接用 (sdom_y) 更新，但它有可能走区间 ((x,y)) 之间的点 (u) 啊，这就没考虑到。若 (mathrm{LCA}(u,y)=w)，则跟据引理，由 (u<y) 知道一旦走到了 (u)，就一定要经过 (w) 的祖先才能到 (y)，这是一定小于 (x) 的，所以 (x) 的半支配点到 (y) 的路径上小于 (y) 的只能是 (w o y)（掐头留尾）中所有的 (z)。设从 (x) 半支配点走到 (y) 的路径上第一次交到这条直链上交的是 (z_0)，由于是第一次交上，显然之前走的都大于 (y)，那自然也大于 (z_0)，交上去之后可以直接沿着 dfs 树走到 (y)，最后走到 (x)。所以这个用所有 (sdom_z) 的更新方案是既正确又充分的。
通过最远半支配点求最近支配点
对点 (x eq 1)，我们设路径 (p=1 o sdom_x)（留头去尾），(q=sdom_x o x)（掐头留尾），(y) 是 (q) 中最远半支配点最远（亦即 dfs 序最小）的点，显然有 (sdom_yleq sdom_x)。分成两种情况：
- 若 (sdom_y=sdom_x)，则 (idom_x=sdom_x)。证明：如果 (sdom_x=1) 那根据 (idom_xleq sdom_x) 就显然了，下面考虑 (sdom_x eq 1) 的情况。此时显然对任意 (i,j)，(p_i) 不半支配 (q_j)。假设存在 (1 o x) 的不经过 (sdom_x) 的简单路径，由于 (1) 不半支配 (x)，一定经过小于 (x) 的点 (z)。而由于 (z<x)，跟据引理 (z o x) 必经过 (fa_x) 的祖先。如果祖先为 (q_i)，那就对 (1 o q_i) 重新使用上述分析一直到祖先为 (p_i) 为止（一定可实现，因为不能经过 (sdom_x) 哦）。然后又可以对 (p_i o x) 重新施加上述分析得到一个新的 (p_j)，如此往复得到 (p_k,p_o,cdots)。注意到我们考虑的是简单路径，(p) 里所有点迟早都会被得到一遍，就不能继续了，而我们的分析是可以一直持续下去的，矛盾。至此我们知道了 (sdom_x) 是 (x) 的支配点之一，即 (sdom_xleq idom_x)，结合 (idom_xleq sdom_x)，得证。
- 若 (sdom_y<sdom_x)，则 (idom_x=idom_y)。证明：显然有 (sdom_x<y)，由 (idom_xleq sdom_x) 知 (idom_x<y)。而若 (idom_x>idom_y)，此时 (idom_x) 一定不支配 (y)（否则 (idom_y) 应该调整到 (idom_x) 这么近），那么有避开 (idom_x) 的路径 (1 o y)，再沿 dfs 树走到 (x)，与 (idom_x) 支配 (x) 矛盾。所以一定有 (idom_xleq idom_y)，只要证 (idom_y) 支配 (x) 则有 (idom_x=idom_y)。
类似上面，假设存在 (1 o x) 的不经过 (idom_y) 的简单路径。既然不经过 (idom_y) 了，那么直链 (idom_y o y) 上面的点都不能经过了，因为一旦交上去便可沿 dfs 树走到 (y)，绕开了 (idom_y)，与支配性矛盾。由于 (idom_yleq sdom_y,y>sdom_x)，所以 (sdom_x) 以上半支配 (q) 的点都不能经过了，剩下来的相当于上面那种情况的局面，可以类似上面无限循环来归谬。
实现
求 (sdom) 的部分，按 dfs 序从后往前更新显然是无后效性的。查询上开下闭的链上最值怎么维护？树剖？可以巧妙地使用带权并查集（Tarjan 又一次使用自己的成果！），每更新完一个点就把它往父亲合并，易证更新到 (x) 的时候，(y) 已经合并到了 (mathrm{LCA}(x,y))。并查集只能路径压缩，不能按秩合并，所以复杂度是一个 (log)。
求 (idom) 的部分恰好也涉及上开下闭的链上最值查询，可以窃取之前的并查集成果。但是查询完之后需要更新的 (idom) 信息应当是按 dfs 序从前往后更新才是没有后效性的。所以我们可以先把并查集该查的查好存起来（在更新到 (sdom_x) 的时候恰好是 (x) 的可查状态，可以用 vector 记录 todo-list），结束之后再从前往后扫一遍。
注意点：(1) 有可能不能到达所有点，枚举 dfs 序的时候一定是到 nowdfn instead of n。初始化的时候应该把所有点的 dfs 序赋为 (+infty)，这样在选取「dfs 序最小的半支配点」时比较函数不会出错。
mol ban tea & code.
支配树求必经边
想不到吧，这玩意还能求必经边。
方法是边点转化，((x,y)) 拆成 ((x,new),(new,y))，这样若 (new) 是支配点，则 ((x,y)) 是必经边，易证正确性。这时候你不禁想起无向图的两种连通性，边双和点双，边双这么简单，点双这么难，是不是也可以用点边转化将点双转化为边双呢？说的好像有道理，但你给我翻译翻译什么叫 tmd 无向图点边转化？最大流最小割定理证明无向图的点版本门杰定理中提到的点边转化，那也是先变成有向图再点边转化的呀 2333。