解题：HDU 5868 Different Circle Permutation

题面

先往上套Burnside引理

既然要求没有$frac{2*π}{n}$的角，也就是说两个人不能挨着，那么相当于给一个环黑白染色，两个相邻的点不能染白色，同时求方案数。考虑$n$个置换子群，即向一边旋转i(1<=i<=n)个单位，那么每个置换子群下循环节的长度是$lcm(i,n)/i$，那循环节数目就是$n/(lcm(i,n)/i)=gcd(i,n)$，然后式子就出来了，设$p(i)$是给长度为$i$的环染色的方案

$ans=frac{sumlimits_{i=1}^np(gcd(i,n))}{n}$

如果我们能快速算$p$那么枚举$d=gcd(i,n)$即可，现在考虑如何算$p$，不妨先设$dp[i][0/1]$表示染了长度为$i$的环，两边白色的点的数目为$0/1$的方案数，转移显然

$dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1],dp[i][1]=dp[i-1][0]$

可见$dp[i][0]$就是$i-1$的答案，$dp[i][1]$就是$dp[i-1][0]$也就是$i-2$的答案，所以$p[i]=p[i-1]+p[i-2]$，矩乘即可

注意$n=1$“两边”都是可以染白色的，判掉

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
struct a
{
    int mat[2][2];
    void Clean()
    {
        memset(mat,0,sizeof mat);
    }
    void Init1()
    {
        Clean();
        mat[0][0]=1,mat[0][1]=3;
    }
    void Init2()
    {
        Clean();
        mat[0][1]=mat[1][0]=mat[1][1]=1;
    }
};
a Matime(a x,a y)
{
    a ret; ret.Clean();
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int k=0;k<2;k++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                ret.mat[i][j]+=1ll*x.mat[i][k]*y.mat[k][j]%mod,ret.mat[i][j]%=mod;
    return ret;
}
a Maqpow(a x,int k)
{
    if(k==1) return x;
    a tmp=Maqpow(x,k/2);
    return k%2?Matime(x,Matime(tmp,tmp)):Matime(tmp,tmp);
}
int Calc(int x)
{
    if(x==1) return 1;
    if(x==2) return 3;
    a fir,cal; fir.Init1(),cal.Init2();
    cal=Maqpow(cal,x-2),fir=Matime(fir,cal);
    return fir.mat[0][1];
}
int Phi(int x)
{
    int ret=x; 
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0)
        {
            ret/=i,ret*=i-1;
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    if(x!=1) ret/=x,ret*=x-1;
    return ret;
}
void exGCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b) x=1,y=0;
    else exGCD(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
int Inv(int x)
{
    int xx,yy;
    exGCD(x,mod,xx,yy);
    return (xx%mod+mod)%mod;
}
int Solve(int x)
{
    if(x==1) return 2;
    int ret=0;
    for(int i=1;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0) 
        {
            ret+=1ll*Phi(x/i)*Calc(i)%mod,ret%=mod;
            if(i*i!=x) ret+=1ll*Phi(i)*Calc(x/i)%mod,ret%=mod;
        }
    return 1ll*ret*Inv(x)%mod;
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        printf("%d
",Solve(n));
    return 0;
}