解题：JSOI 2011 柠檬

题面

显然分出来的每段两端颜色相同，否则把一边归给旁边的答案不变劣，于是可以$O(n^2)$地dp了：设$dp[i]$表示到第$i$个位置为止的最优解，$dp[i]=dp[j]+a[i]*(s[j]-s[i]+1)^2$ $[a[i]==a[j]]$，其中s是每种颜色出现次数的前缀和

写成斜率的形式，然后发现对每个颜色来说，斜率$k=a_i*s_i$单增，横坐标$x=2*(s_j-1)$单增，对每个颜色用单调栈维护上凸壳并在上面二分求解

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lli long long
using namespace std;
const int N=100005,M=10005;
int n,a[N],s[N],sz[M];
lli dp[N]; vector<int> stk[M];
int Top(int x)
{
    return *stk[x].rbegin();
}
int Sec(int x)
{
    return stk[x][stk[x].size()-2];
}
int Spare(int x)
{
    return stk[x].size()>=2;
}
lli Calc(int x,int y)
{
    return dp[x-1]+1ll*a[x]*y*y;
}
int Point(int x,int y)
{
    int l=1,r=n,ret=n+1;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(Calc(x,mid-s[x]+1)>=Calc(y,mid-s[y]+1)) ret=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=a[i];
        s[i]=++sz[x];
        while(Spare(x)&&Point(Sec(x),Top(x))<=Point(Top(x),i))
            stk[x].pop_back();
        stk[x].push_back(i);
        while(Spare(x)&&Point(Sec(x),Top(x))<=s[i])
            stk[x].pop_back();
        dp[i]=Calc(Top(x),s[i]-s[Top(x)]+1);
    }
    printf("%lld",dp[n]);
    return 0;
}