解题：POI 2011 Strongbox

首先洛谷的题面十分的劝退(至少对我这个菜鸡来说是这样)，我来解释一下(原来的英文题面)：

有一个有若干个密码(每个密码都可以开箱子)的密码箱，密码是在$0$到$n-1$的数中的，且所有的密码都满足一个条件：如果$x$是密码，$y$也是密码($x$可能等于$y$)，那么$(x+y)\%n$也是密码。现在有一个人在试密码，他试了$k$个数，前$k-1$个都是错的，第$k$个是对的。现在你要求这个密码箱最多有多少不同的密码。

显然如果$x$是一个密码，那么$ax(a∈N&&ax<n)$也都是密码。根据裴蜀定理，我们先让$num_k$和$n$取一个gcd得到$g$，然后把$g$分解因数得到$fac$个因数。从小到大枚举因数$f$，如果对于一个因数$f$前$k-1$个数都不能整除它，说明它符合题意，这个时候答案就是$frac{n}{f}$，也就是取它的所有倍数。

然后我们发现这个玩意直接枚举来做的话理论上最差是$O(sqrt(n)k)$的，看起来根本过不去(实际上可以水过去)，于是学习了一种筛法的解法。

我们换一种方法检查每个因数是否合法：首先标记$i=1->k-1$中所有的$gcd(num_i,num_k)$为不可取。接下来要用到一个性质：如果一个数$x$不可取，那么$x$所有的因数也一定都不可取(不要搞反了)。这样我们从大到小枚举一下$num_k$的所有因数$fac_i$，每次从小到大枚举$num_k$的质因数$pfac_j$，每次查看$num'=fac_i*pfac_j$(如果这个数存在的话)，如果它不可取就将当前的因数标记为不可取，最后正着扫一遍就行了。复杂度$O(fac$ $log(n)log(fac))$(根本跑不满)

Update：讲了以后收到了很多疑问，筛答案那块没啥问题，主要是证明“显然如果$x$是一个密码，那么$ax(a∈N&&ax<n)$也都是密码” 这里(根本不显然=。=)和“根据裴蜀定理，我们先让$num_k$和$n$取一个gcd” 这里(为什么取gcd=。=？)。发现自己根本讲不清楚(完全暴露了数学鶸的本质233)，看来还是要提高一个知识水平orz

现在更新一下详细证明：

1.为什么“如果$x$是一个密码，那么$ax(a∈N&&ax<n)$也都是密码”

这个问题有一个更“朴实”的问法：凭什么你可以用一个$x$和它的所有倍数表示出答案，而不是两个数组合呢？

(讲的时候极尬，完全不会讲TAT)

我们首先证明一个东西：如果$x$是密码，$y$是密码，那么$gcd(x,y)$也是密码

这个东西可以由裴蜀定理得出，问题是裴蜀定理说的是整数，我们要求必须是正整数

不过没关系，因为我们在模$n$剩余系下做，所以我们想$-ax$就等价于$+(kn-a)x(a,k∈N*)$

证明了这个，那么所有“两个数的组合”就都可以表示成它们的$gcd$了，于是问题解决

2.为什么“先让$num_k$和$n$取一个gcd”

暴力做应该不用取，但是筛的时候必须取

首先裴蜀定理告诉我们这样做了之后还是对的

那么为什么必须这样做呢？因为$num_k$中可能还有一个(相对于前$k-1$个数)独特的因数，然后你在排除的时候这个因数根本排不掉，你就把它当成答案了。。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=500005;
long long p[N],fac[N],pfac[N];
long long n,k,g,tot,cnt;
bool una[N];
long long gcd(long long a,long long b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void getf(long long maxx)
{
    for(long long i=1;i*i<=maxx;i++)
        if(maxx%i==0)
        {
            fac[++tot]=i;
            if(i*i!=maxx) 
                fac[++tot]=maxx/i;
        }    
}
void getpf(long long maxx)
{
    for(long long i=2;i*i<=maxx;i++)
        if(maxx%i==0)
        {
            pfac[++cnt]=i;
            while(maxx%i==0) maxx/=i;
        }
    if(maxx!=1) pfac[++cnt]=maxx;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)
        scanf("%lld",&p[i]);
    if(!p[k]&&k==1) printf("%lld",n),exit(0);
    p[k]=gcd(p[k],n),getf(p[k]),getpf(p[k]);
    sort(fac+1,fac+1+tot);
    for(int i=1;i<k;i++)
        una[lower_bound(fac+1,fac+1+tot,gcd(p[i],p[k]))-fac]=true;
    for(int i=tot;i;i--)
        if(!una[i])
            for(int j=1;j<=cnt&&fac[i]*pfac[j]<=n;j++)
            {
                long long tmp=fac[i]*pfac[j];
                int pos=lower_bound(fac+1,fac+1+tot,tmp)-fac;
                if(fac[pos]==tmp&&una[pos]) {una[i]=true; break;}
            }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        if(!una[i]) {printf("%lld",n/fac[i]); break;}
    return 0;
}