Clairaut 定理 证明

(Clairaut 定理)设 $E$ 是 $mathbf{R}^n$ 的开子集合,并设 $f:mathbf{E} o mathbf{R}^{m}$ 是 $E$ 上的二次连续可微函数.那么对于一切$x_0in E$ 和 $1leq i,jleq n$,
  egin{align*}
    frac{partial }{partial x_j}frac{partial f}{partial
      x_i}(x_0)= frac{partial }{partial x_i}frac{partial
      f}{partial x_j}(x_0)
  end{align*}

证明:这个定理的本质是二重极限的顺序问题,在题设条件下,交换极限的顺序对结果无影响.我们依照定义来证明.不妨设 $j<i$.设 $x_0$ 在 $mathbf{R}^n$ 中的坐标
  为$(a_1,a_2,cdots,a_n)$.则
  egin{equation}
    label{eq:8.00}
    frac{partial f}{partial x_i}(x_0)=lim_{Delta x_{i} o 0;Delta
      x_{i} eq 0}frac{f(a_1,cdots,a_i+Delta
      x_{i},cdots,a_n)-f(a_1,cdots,a_i,cdots,a_n)}{Delta x_{i}}.
  end{equation}
易得
  egin{align*}
    &frac{partial }{partial x_j}frac{partial f}{partial
      x_i}(x_0)\&=lim_{Delta x_j o 0;Delta x_j eq
      0}lim_{Delta x_i o 0;Delta x_i eq
      0}frac{frac{f(a_1,cdots,a_j+Delta x_j,cdots,a_i+Delta
      x_i,cdots,a_n)-f(a_1,cdots,a_j+Delta
      x_j,cdots,a_i,cdots,a_n)}{Delta x_i}-frac{f(a_1,cdots,a_j,cdots,a_i+Delta
      x_i,cdots,a_n)-f(a_1,cdots,a_i,cdots,a_n)}{Delta x_i}}{Delta x_j}.
  end{align*}
且易得
egin{align*}
    &frac{partial }{partial x_i}frac{partial f}{partial
      x_j}(x_0)\&=lim_{Delta x_i o 0;Delta x_i eq
      0}lim_{Delta x_j o 0;Delta x_j eq
      0}frac{frac{f(a_1,cdots,a_j+Delta x_j,cdots,a_i+Delta
      x_i,cdots,a_n)-f(a_1,cdots,a_j+Delta
      x_j,cdots,a_i,cdots,a_n)}{Delta x_i}-frac{f(a_1,cdots,a_j,cdots,a_i+Delta
      x_i,cdots,a_n)-f(a_1,cdots,a_i,cdots,a_n)}{Delta x_i}}{Delta x_j}.
  end{align*}
结合微分中值定理,再加上二阶偏导数连续,因此极限可以交换顺序,而结果值不变.得证.