(1) $u(x,y)=xy$,(2) $u(x,y)=xe^xsin y$,求二阶偏导数.
解:(1)$frac{partial u}{partial x}=y$,$frac{partial u}{partial y}=x$.因此 $frac{partial^2 u}{partial y^2}=0$,$frac{partial^{2}u}{partial x^{2}}=0$,$frac{partial^2u}{partial ypartial x}=1$,$frac{partial^2u}{partial xpartial y}=1$.
(2)$frac{partial u}{partial x}=sin y(e^x+xe^x)$.$frac{partial u}{partial y}=xe^xcos y$,$frac{partial^2u}{partial ypartial x}=cos y(e^x+xe^x)$.$frac{partial^2u}{partial xpartial y}=cos y(e^x+xe^x)$,$frac{partial^2u}{partial y^2}=-xe^xsin y$,$frac{partial^2u}{partial x^2}=sin y(2e^x+xe^x)$.
练习14.1:求下列函数的偏导数.
(1)$z=x^2ln (x^2+y^2)$.
$$frac{partial z}{partial x}=2xln (x^2+y^2)+
frac{2x^3}{x^2+y^2}.$$
$$
frac{partial z}{partial y}=frac{2x^2y}{x^2+y^2}.
$$
(2)$u=e^{xy}$.
$$
frac{partial u}{partial x}=ye^{xy}.
$$
$$
frac{partial u}{partial y}=xe^{xy}.
$$
(3)$z=xy+frac{x}{y}$.
$$
frac{partial z}{partial x}=y+frac{1}{y}.
$$
$$
frac{partial z}{partial y}=x-x frac{1}{y^2}.
$$
(4)$u=arctan frac{y}{x}$.
$$
frac{partial u}{partial x}=frac{-1}{x^{2}+y^2}.
$$
$$
frac{partial u}{partial y}=frac{1}{x+frac{y^2}{x}}.
$$
(5)$u=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$.
$$
frac{partial u}{partial x}=2x+2y+2z.
$$
至于其余两个,根据对称性易得也是上面的答案.
(6)$u=e^{phi- heta}cos( heta +phi)$.
$$
frac{partial u}{partial heta}=-e^{phi- heta}cos( heta+phi)-e^{phi- heta}sin( heta+phi).
$$
$$
frac{partial u}{partial phi}=e^{phi- heta}cos( heta+phi)-e^{phi- heta}sin( heta+phi).
$$
例14.2.1:设 $u=e^xsin y,x=2st,y=t+s^2$,求 $u_s,u_t$.
解:$s$ 变化导致 $x$ 变化,同时导致 $y$ 变化,而 $x,y$ 变化导致 $u$ 变化.从$s$ 到 $(x,y)$ 是一个函数 $f:mathbf{R} o mathbf{R}^2$,$f$ 的导数是
$$
egin{pmatrix}
2t\
2s\
end{pmatrix}.
$$
从 $x,y$ 到 $u$ 是一个函数 $g:mathbf{R}^2 o mathbf{R}$.它的导数是
$$
egin{pmatrix}
sin y e^x&e^xcos y
end{pmatrix}.
$$
因此
$$
u_s=egin{pmatrix}
e^xsin y&e^xcos y
end{pmatrix}egin{pmatrix}
2t\
2s\
end{pmatrix}=2tsin ye^x+2se^xcos y.
$$
从 $t$ 到 $(x,y)$ 是一个函数 $f':mathbf{R} o mathbf{R}^2$,$f'$ 的导数是
$$
egin{pmatrix}
2s\
1\
end{pmatrix},
$$
因此
$$
u_t=egin{pmatrix}
sin ye^x&e^xcos y
end{pmatrix}egin{pmatrix}
2s\
1\
end{pmatrix}=2ssin ye^x+e^xcos y.
$$
例14.2.4:已知 $u=u(x,y)$,在极坐标 $x=rcos heta$,$y=rsin heta$ 变换下,证明
$$
(frac{partial u}{partial r})^2+frac{1}{r^2}(frac{partial u}{partial
heta})^2=(frac{partial u}{partial x})^2+(frac{partial u}{partial y})^2.
$$
证明:函数 $f:mathbf{R}^2 o mathbf{R}^2$,具体规则如下:
$$
f:( heta,r) o (x,y).
$$
函数 $g:mathbf{R}^2 o mathbf{R}$,具体规则如下:
$$
g:(x,y) o u.
$$
根据链法则易得
$$
egin{pmatrix}
frac{partial u}{partial x}&frac{partial u}{partial y}
end{pmatrix}egin{pmatrix}
-rsin heta&cos heta\
rcos heta&sin heta\
end{pmatrix}=egin{pmatrix}
frac{partial u}{partial heta}&frac{partial u}{partial r}
end{pmatrix}.
$$
也就是
$$
egin{cases}
frac{partial u}{partial heta}=-rsin hetafrac{partial u}{partial x}+rcos heta
frac{partial u}{partial y}\
frac{partial u}{partial r}=cos heta frac{partial u}{partial x}+sin heta
frac{partial u}{partial y}.
end{cases}
$$
所以易得命题成立.