设 $mathbf{A}=(a_{ij})_{m imes n}$,$mathbf{b}=(b_1,b_2,cdots,b_m)^T$,存在 $mathbf{x}$,使得 $mathbf{Ax=b}$.证明 ${mathbf{x}|mathbf{Ax=b,xgeq 0}}$ 是凸集.
证明:即证明,若 $mathbf{x_1,x_2}in {mathbf{x}|mathbf{Ax=b,xgeq 0}}$,则对于任意 $lambdain [0,1]$,$lambdamathbf{x_1}+(1-lambda)mathbf{x_2}in{mathbf{x}|mathbf{Ax=b,xgeq 0}}$.根据线性映射的性质,我们知道,$mathbf{A(lambda x_1+(1-lambda)x_2)}=lambdamathbf{Ax_1}+(1-lambda)mathbf{Ax_2}=mathbf{lambda b+(1-lambda)b=b}$.而且易得 $lambdamathbf{x_1}+(1-lambda)mathbf{x_2}geq 0$(为什么?),因此可得 ${mathbf{x}|mathbf{Ax=b,xgeq 0}}$ 是凸集.
注：类似地,我们可以证明,若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域是凸集.