一致可积注意事项

一列绝对可积函数 $f_n$ 一致可积,需要三个条件.

第一个条件是:

$${sup_n |f_n|_{L^1(mu)} = sup_n int_X |f_n| dmu <+infty}. $$
第二个条件是:

当 ${M ightarrow +infty}$ 时,${sup_n int_{|f_n| geq M} |f_n| dmu ightarrow 0}$.

第三个条件是

${delta ightarrow 0}$时, ${sup_nint_{|f_n| leq delta} |f_n| dmu ightarrow 0}$.

要注意的是，第一个条件比如下条件要强：

函数列 $f_n$ 被一个绝对可积的函数 $g$ 控制(dominated).

而且第二个条件比如下的条件要强

$$lim_{M oinfty}int_{|f_n|geq M}|f_n|dmu=0.$$

第三个条件比如下的条件也要强

$$lim_{delta o 0}int_{|f_n|leqdelta}|f_n|dmu=0.$$