设 $X$ 是实直线 $\mathbf{R}$ 的子集合,那么下述命题等价. (a) $X$ 是连通的. (b) 只要 $x,y\in X$,并且 $x<y$,就有 $[x,y]\subseteq X$.
证明:(a)$\Rightarrow $(b) 假若存在 $x,y\in X$,并且 $x<y$,使得 $[x,y]\not\subseteq X$,则存在 $p\in [x,y]$,且 $p\not\in X$.易得 $A=\{\alpha\in X:x\leq\alpha<p\}$ 和 $B=\{\beta\in X:p<\beta\leq y\}$ 都是 $X$ 中的非空开集,且 $A\bigcap B=\emptyset$,$A\bigcup B=X$.于是 $X$ 是不连 通的,这与 (a) 矛盾.
(b)$\Rightarrow$ (a):我们现在来研究相对于 $X$ 的开集有什么特点.我们知道 $X$ 是 $\mathbf{R}$ 中的区间,于是我们只要研究相对于区间是开集的集合有什么特点.易得 $X$ 中 的开集实际上是 $\mathbf{R}$ 中的开集或者是 $\mathbf{R}$ 中的开集去掉 $\mathbf{R}$ 中的某个闭区间的一部分.因此显然 $X$ 这个区间 不能表示为 $X$ 中的两个互不相交的开集的并,因此 $X$ 是连通的.