设 $(X,d)$ 是紧致度量空间.假设 $(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中 的一个闭子集族,它具有这样的性质:对于一切有限集 $F\subset I$,$\bigcap_{\alpha\in F}K_{\alpha}\neq\emptyset$.证明$\bigcap_{\alpha\in I}K_{\alpha}\neq\emptyset$.
\begin{proof} 首先,我们证明 $X$ 中的一切闭集 $K$ 都是紧的.这是很容易证明的(为什么?提 示:$K$ 中的任意序列也是 $X$ 中的序列,因此该序列必定有收敛子列收敛 到 $X$ 中的元素 $a$,而由于 $K$ 是闭集,因此必有 $a\in K$,于是 $K$ 也是紧的). 现在,我们把情况分为两种来讨论.当 $I$ 是有限集的时候,情况是显然的,不予 讨论. 当 $I$ 是可数集的时候,我们把 $I$ 中的元素列出来,它们为 $$ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots $$ 由于有限交非空性,因此 \begin{equation}\label{eq:1} K_{\alpha_1},K_{\alpha_1}\bigcap K_{\alpha_2},K_{\alpha_1}\bigcap K_{\alpha_2}\bigcap K_{\alpha_3},\cdots \end{equation} 都是非空集.而且易得紧致集合的有限交也是紧致集合(为什么?)因此 \eqref{eq:1} 中的每个项都是非空紧致集合,且后面的项都含于前面的项,因此根 据
陶哲轩实分析推论 12.5.9,$\bigcap_{\alpha\in I}K_{\alpha}$ 是非空集 合.
当 $I$ 是不可数集合的时候,我们完全仿照 陶哲轩实分析推论 12.5.9 的证明, 很容易得到结论.\end{proof}