设 $E$ 和 $F$ 是 $\mathbf{R}$ (带有标准度量)的两个紧致子集合,证明笛卡 尔乘积 $E\times F:=\{(x,y):x\in E,y\in F\}$ 是 $\mathbf{R}^2$(带有欧几 里德度量 $d_{l^2}$)的紧致子集合.
\begin{proof}对于 $E\times F$ 中的任意一 个序列 $$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n),\cdots$$ 来说,$$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$$ 必有收敛子列(因为 $E$ 是 $\mathbf{R}$ 上的紧集),设该收敛子列为 $$x_{l_1},x_{l_2},\cdots,x_{l_n},\cdots.$$然后 我们来看 $$(x_{l_1},y_{l_1}),(x_{l_2},y_{l_2}),\cdots,(x_{l_n},y_{l_n}),\cdots.$$ $y_{l_1},y_{l_2},\cdots,y_{l_n},\cdots$ 必有收敛子列(因为 $F$ 是 $\mathbf{R}$ 上的紧集),设该收敛子列为 $$y_{k_1},y_{k_2},\cdots,y_{k_n},\cdots$$然后我们来看 $$(x_{k_1},y_{k_1}),(x_{k_2},y_{k_2}),\cdots,(x_{k_n},y_{k_n}),\cdots$$ 易得该序列是在 $\mathbf{R}^2$ 中按照欧几里德度量收敛的.可见 $E\times F$ 在 $\mathbf{R}^2$ 上按照欧几里德度量是紧致的.\end{proof}
注1:当然此题也可以从开集覆盖的角度来证明,很简单,从略.