度量空间 $(X,d)$ 叫作是全有界的,如果对于每个 $\varepsilon>0$,都存在正整数 $n$ 和 $n$ 个球 $B(x^{(1)},\varepsilon),\cdots,B(x^{(n)},\varepsilon)$,它们覆盖 $X$.
(a)证明:全有界的空间是有界的.
\begin{proof}
证明是简单的,只要反复利用绝对值不等式即可.这个命题说明全有界的概念比
有界的概念要强.
\end{proof}
(b)证明命题 12.5.5 的下述加强形式:如果 $(X,d)$ 是紧致的,那么它是完备的并且是全有界的.
\begin{proof}首先完备性已经证明.现在我们证明全有界性.这根据有限覆盖定理是很容易证明的,我们以 $X$ 中的每个点为圆心做一个半径为 $\varepsilon$ 的开球,如果这是有限个球,则目的已经达到,如果这是无限个球,则根据有限覆盖定理,可得这无限个开球中有有限个开球照样覆盖 $X$.
\end{proof}
(c)如果 $X$ 是完备的并且是全有界的,则 $X$ 是紧致的.
\begin{proof}即证明 $X$ 的每个序列都有收敛子列.这是容易的,因为假若 $X$ 的某个序列在 $X$ 中没有收敛子列,说明这个序列中的每个元素外面都包了一层壳,使得
序列中的任意两个元素的距离都大于给定的一个实数,而我们是用有限个半径足够小(要多小就能有多小)的开球覆盖了 $X$,说明
至少有一个开球内分布着该序列中的无限个点,这两者之间有矛盾.
\end{proof}