陶哲轩实分析 习题10.2.7 导函数有界的函数一致连续

设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数，并且$f'$是有界的，证明$f$是一致连续的.

证明:设
  \begin{align*}
    a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots
  \end{align*}
是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设
  \begin{align*}
    b_1,b_2,\cdots,b_n,\cdots
  \end{align*}
是$\mathbf{R}$上的另一个数列，且满足
  \begin{align*}
    \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0
  \end{align*}
我们只用证明
  \begin{equation}\label{eq:123}
    \lim_{n\to\infty}(f(a_n)-f(b_n))=0
  \end{equation}
而根据微分中值定理，
  \begin{align*}
    |\frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n}|\leq M
  \end{align*}
因此很容易得到\ref{eq:123}成立.

注:该题可以推广成"设$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$满足李普希兹条件，则$f$是一致连续的."(感谢mathjgs,见下面评论)