这是我在两年前写的一点东西,现在稍微整理一下，删去了错误的内容，贴到这里.
一个函数在某一点处连续的定义是：
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.
这条式子说的是：对于任意给定的$\varepsilon >0$,都存在$ \delta >0$,使得$|x-a|<\delta$时都有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon $.函数在某一点处连续，从这个表达式可以看出，首先，要求函数在该点有定义。其次，在该点的左极限要等于右极限。当一个函数在区间I内每一点都连续，我们说函数在区间I连续.
闭区间上连续函数的零点定理:$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,$f(a)$$<$0,$f(b)$$>$0.则$f(x)$在$[a,b]$内有零点.
证明采用高中生熟悉的二分法：如果在二分法过程中，恰好有$x$值使得$f(x)=0$,则命题已经成立；如果没有这种情况，我们会得到一个闭区间套(注意这里隐含地用到了选择公理)，恰有一个点属于这个闭区间套.如果这个点对应的函数值不是零，比如是正的，那么离这个点“很近的”左边的那个点所对应的函数值也是正的（根据函数的连续性），但是，由二分法的操作表明，左边的那个点对应的函数值是负的，矛盾。同样，如果这个属于所有闭区间的点对应的函数值是负的，也会推出矛盾.因此，这个点对应的函数值只能为零,这就是零点呀.证毕.
由零点定理很容易推导出介值定理.
下面谈谈一致连续与连续：我们知道，一个函数在一个区间上连续意味着该函数在这个区间上的每一点连续，也即，对于这个区间上的任意一个点A，只要点B与点A距离的足够近，那么点B的函数值和点A的函数值的差异就可以达到你所要求的那个精度，不论你要求的精度是多少. 那么什么是一致连续呢？“一致连续”这个名字取的很好。在某个区间一致连续的函数拥有这个特性：我们只要让这个区间里任意两个点的距离小到一定程度，这两个点对应的函数值的差别就能达到你所希望的任意精度. 一致连续和连续的唯一区别在于：一致连续里的两个点的选取是任意的，也就是在这个区间里“放之四海而皆准”的，而连续函数就只是死死的守住某个点.如果还不明白的话就这样想，虽然这样想有点搞笑：拿着一把梳子梳
头发，如果你的头发是连续的，当你梳卡住了以后，你可以通过调整梳子的那些小棒棒的间距使你梳头发的时候不卡住.每卡住一次，你就调整小棒棒的间距一次。而如果你的头发是一致连续的话你根本不用这么麻烦，你只用调整梳子小棒棒一次，达到合理精度以后，就能很顺畅的一梳到底！