序数$\alpha$ 是一个满足这个条件的良序集：对于一切$x\in\alpha$,$x = \{ y \in \alpha: y < x \}$ . (特别的, 每个属于$\alpha$的元素也是$\alpha$的子集, $\alpha$上严格的序关系$<$等同于$\in$)——Terence Tao
现在我们逐步建立序数的性质：
(1)对于任意序数$\alpha$来说，$\emptyset$是其最小元.
证明：因为$\alpha$是良序集，所以$\alpha$中存在最小元$x_0$,$\forall x\in \alpha$,$x\not\in x_0$.因此$x_0=\emptyset$.
(2)序数$\alpha$的元素仍然是序数.
证明的关键是用到这个性质:序数$\alpha$的元素$x$的元素$y$仍然是$\alpha$的元素.
(3)设$\alpha$和$\beta$是序数，则$\alpha\subset\beta$或$\beta\subset\alpha$.
证明：根据良序集的势的三歧性,我们知道有以下三种情况之一成立：
1.$\alpha$与$\beta$的一节序同构.
2.$\beta$与$\alpha$的一节序同构.
3.$\alpha$与$\beta$序同构.
当1成立时，结合强数学归纳法我们易得$\alpha\subset \beta$.当2成立时，$\beta\subset \alpha$.当3成立时，结合强数学归纳法,$\alpha=\beta$.
注: 3.1.类似的结果是：设$\alpha$和$\beta$是序数，且$\alpha\neq \beta$,则$\alpha\in\beta$或$\beta\in\alpha$.
证明：由对称性,不妨设$a\subsetneq b$.我们看 $a\bigcup \{a\}$ 和 $b$.若 $a\bigcup\{a\}\subset b$,则 $a\in b$.若 $b\subset a\bigcup\{a\}$,则必有 $a\in b$,否则,$b\subset a$,会与$a\subsetneq b$矛盾.
然而，这个结果却没有(3)重要，因为这个结果要求一个附加条件$\alpha\neq \beta$(否则会与正则公理矛盾).
注:3.2当$\alpha\neq \beta$时，$a\subset b$当且仅当$a\in b$.
证明：这是显然的.否则若$\alpha\subset\beta$且$\beta\in\alpha$,则$\beta\in\beta$,与正则公理矛盾.
(4)设$\alpha$是一个序数，$p\in\alpha$.$\min(\alpha\backslash\{x\in\alpha:x\in p\})=p$.
注4.1: 以下结果与(4)等价：对于任意序数$x$,必有序数$x\bigcup\{x\}$，在$x$和$x\bigcup\{x\}$之间（这里的之间可以指$\in$也可以指$\subset$,这两者对于不相等的序数来说，是没区别的）不存在其它序数.证明：当$x$是序数时，$x\bigcup\{x\}$显然也是序数.现在证明在它们之间不存在其它序数.反证法.假若存在序数$k$,使得$$x\in k\in x\bigcup\{x\}$$则易得$k\in x$.然而$x\in k$.这与正则公理矛盾.
(5)每一个良序集都能与唯一一个序数序同构.
证明：我准备使用强数学归纳法.
若$A$是空集，则把$A$对应给$\emptyset$即可($\emptyset$是最小的序数).设$A$是非空良序集，$a_0$是$A$的最小元.$\{x:x\in A,x\prec a_0\}=\emptyset$.把$\{x:x\in A,x\prec a_0\}$对应给$\emptyset$.$a_1$是仅次于$a_0$的最小元，$\{x:x\in A,x\prec a_1\}=\{a_0\}$.把$\{x:x\in A,x\prec a_1\}$对应给$\{\emptyset\}$.$a_2$是仅次于$a_1$的最小元，$\{x:x\in A,x\prec a_2\}=\{a_0,a_1\}$.把$\{x:x\in A,x\prec a_2\}$对应给$\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$.假设对于$ m\in A$,能找到一个序数$m'$,使得在$\{x:x\in A,x\prec m\}$和一个序数$m'$之间可以建立序同构（根据ZF公理中的替换公理,$m'$是一个集合).那么 现在我要构造$\{x:x\in A,x\preceq m\}$和一个序数$p$之间的序同构.$p$该怎么确定呢？令$p=m'\bigcup \{m'\}$即可.因此根据强数学归纳法，$A$能与某个序数序同构.
那是否唯一的良序集只能与唯一的序数序同构呢？答案是肯定的，因为若良序集$A$与两个序数都序同构，那么这两个序数也序同构,根据(3),这两个序数相等.
注5.1：由于每一个良序集都能与一个序数序同构,因此良序集的强数学归纳法可以通过序同构转化为序数的超限归纳法：$P(\alpha)$是一个与序数$\alpha$有关的命题($P(\alpha)$非对即错).若
(1)奠基情形:$P(\emptyset)$成立.
(2)后继情形:$\alpha$能表示成$\beta\bigcup\{\beta\}$的形式时，$P(\beta)$成立能推出$P(\alpha)$成立.
(3)极限情形:若$\alpha=\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$,且$\forall \beta\in\alpha$,$P(\beta)$成立，则$P(\alpha)$成立.
则$\forall \alpha$,$P(\alpha)$成立.
注5.1.1.我想对(3)中的极限做一些说明.我要证明，当不存在序数$\beta$,使得$\beta\bigcup\{\beta\}=\alpha$时，$\alpha=\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$.
证：先证$\alpha\subset\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$.怎么证呢？我要证$\forall x\in\alpha$,$x\in\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$.$\forall x\in\alpha$,由于$\alpha$不是后继序数，所以$x\bigcup\{x\}\in\alpha$(根据的是性质(4)),所以$x\bigcup\{x\}\subset\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$.所以$x\in\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$.可见，$\alpha\subset\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$.
再证$\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta\subset\alpha$.证明也是容易的，因为$\forall \beta\in\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$,$\beta\in\alpha$,所以$\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta\subset\alpha$.
综上可见，$\alpha=\bigcup_{\beta\in\alpha}\beta$.
现在我开始证明序数的超限归纳法.其实用不着我证了，这和良序集的强归纳原理简直是一样的.只不过，由于序数有两种：一种是极限序数，一种是后继序数，所以分成了“极限情形”和“后继情形”这两种情形.这两种情形其实可以合并成一种情形，就是良序集的强归纳原理的那种情形，不过这样的合并并没有实际操作上的好处.
注5.2“序同构”可以在“并”运算下保持.更具体地说，设$(A_i)_{i\in J}$是良序集族,该集族里的每个良序集都以$\leq$为良序关系，且$\forall i\neq j$,$A_i$是$A_j$的前段或$A_j$是$A_i$的前段.$(B_i)_{i\in J}$是良序集族,该集族里的每个良序集都以$\preceq$为良序关系.且$\forall i\neq j$,$B_i$是$B_j$的前段或$B_j$为$B_i$的前段(不可能互为前段，为什么?提示:假若互为前段，则易推出一个良序集是自己的前段，这与良序集的一节中的定理矛盾).且$\forall i\in J$,$(A_i,\leq)$与$(B_i,\preceq)$序同构.则$(\bigcup_{i\in J}A_i,\leq)$与$(\bigcup_{i\in J}B_i,\preceq)$都是良序集，且两者序同构.
证明：很简单.我不叙述了.不过我要证一下$(\bigcup_{i\in J}A_i,\leq)$是良序集.这是因为对于$\bigcup_{i\in J}A_i$的任意子集$U$来说，把$U$划分为集合$\bigcup_{i\in K}U_i$,其中$U_i\subset A_i$,$K\subset J$.易得每个$U_i$里都有最小元，所有这样的最小元形成的集合仍然有最小元.该最小元即为$U$的最小元.
(6)某些序数形成的类$F$，在$F$中，必存在最小的序数$\min (F)$,$\min (F)$含于$F$中的每一个序数.
证明：设$\alpha\in F$.如果$\alpha$是$F$中的最小元，则问题已经解决.若$\alpha$不是$F$中的最小元，则存在$\beta\in F$,使得$\beta\in\alpha$.下面考虑集合
$$J=\{x\in F:x\in\alpha\}$$
由于$J$是良序集(因为良序集的子集仍是良序集)，故$J$必有最小元$p$.易得$p$即为$F$中最小的序数.
注6.1.从(6)可以看出，若某些序数形成一个集合，这个集合就是一个良序集.而且所有序数不能形成一个集合.因为假若所有序数形成一个集合$A$,则$A$也是一个序数.而且所有的序数都属于$A$.但是我们知道$A\bigcup\{A\}$也是一个序数，所以$A\bigcup\{A\}\in A$,这与正则公理矛盾.“所有序数无法形成一个集合”，这在集合论的早期被称作布拉利-福尔蒂悖论.
附注:
关于序数我与哆嗒网网主的有一段对话：
“无沉”在哆嗒网问了一个问题：
若序数$\alpha$每一非空子集都有一最大元，则序数$\alpha$是自然数.
网主证明：用$\omega$表示最小的无穷序数，原题就是要证$\alpha<\omega$.若不然$\alpha\geq \omega$,则$\alpha$有非空子集$\omega$没有最大元，矛盾.证毕.Yaleking(1401058606) 11:28:43
怎么用序数定义自然数啊
哆嗒数学网(duodaa.com)(1178853280) 11:29:15
0最小的
做后继，
每个都是
Yaleking(1401058606) 11:30:53
……无沉沉的那个题我不知道怎么证，因为什么是自然数都还不知道
哆嗒数学网(duodaa.com)(1178853280) 11:31:24
你看了我的回答还不知道
Yaleking(1401058606) 11:32:33
为什么\alpha<w,\alpha就是自然数啊
小于最小的无穷序数的序数就是自然数，为什么啊
哆嗒数学网(duodaa.com)(1178853280) 11:33:27
第一个无穷序数怎么构造的
Yaleking(1401058606) 11:33:58
第一个无穷序数就是自然数集
哆嗒数学网(duodaa.com)(1178853280) 11:34:09
小于是什么意思
Yaleking(1401058606) 11:34:16
含于
哆嗒数学网(duodaa.com)(1178853280) 11:34:41
是真含于，或者说∈
Yaleking(1401058606) 11:35:43
嗯。真含于w的序数为什么就是自然数啊
哆嗒数学网(duodaa.com)(1178853280) 11:37:07
真含于就属于
Yaleking(1401058606) 11:37:14
嗯
为什么属于w的序数就是自然数，啊
哆嗒数学网(duodaa.com)(1178853280) 11:38:35
w是什么
Yaleking(1401058606) 11:39:19
最小的无限序数，也就是说，属于w的序数都是有限的。我明白了。
谢谢网主
哆嗒数学网(duodaa.com)(1178853280) 11:39:45
这是你说的
居然问我为什么属于他就是自然数
Yaleking(1401058606) 11:40:16
嗯，属于自然数集的都是自然数