一个行列式等于它的转置
我举一个实例来说明.对于如下$5\times 5$的矩阵
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\
--&--&--&--&--\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\
a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
来说，它的行列式由5!=120项组成,$a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}a_{55}$是其中一项.经过转置后，这一项对应的项是$a_{31}a_{42}a_{23}a_{14}a_{55}$.易得这两项的符号其实是相同的.然后呢？然后就证完了呀！
下面我说明为什么$a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}a_{55}$的符号和$a_{31}a_{42}a_{23}a_{14}a_{55}$的相同.我们来说明这两者的逆序数其实是相同的，这是因为，比如，$a_{13}$和$a_{41}$形成一个逆序，那么$a_{31}$和$a_{14}$也就形成了一个逆序.$a_{13}$和$a_{24}$形成了一个顺序，那么$a_{31}$和$a_{42}$也就形成了一个顺序.所以两者的逆序数是相同的.所以两者的符号是相同的.
行列式中两行对掉,值变号
这是很简单的，因为两行对调的时候，改变了逆序数的奇偶性.比如，对于如下的矩阵，
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\
a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}该矩阵的行列式里的其中一项，比如$a_{13}a_{22}a_{31}a_{45}a_{54}$,当我们把该矩阵的其中两行换掉，比如把第二行和第四行换掉之后，$a_{13}a_{22}a_{31}a_{45}a_{54}$就变成了$a_{13}a_{25}a_{31}a_{42}a_{54}$.如果原来该项是顺序，那么换一下之后就成了逆序;如果原来该项是逆序，那么换了一下之后就成了顺序.对该行列式中的每一项莫不如此.因此两行互换之后，行列式的值变号.
若行列式的两行一样，则行列式为0
这是很简单的，举个实例
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccc}
1&2&3\\
1&2&3\\
7&8&9
\end{array}
\right)
\end{equation}
行列式展开的时候，其中含有一项$1\times 2\times 9$,同时会含有另外一项$2\times 1\times 9$.这两项因符号相反，会抵消.各项皆如此，因此行列式为0.
行列式的拉普拉斯展开
我们利用数学归纳法来证明行列式的拉普拉斯展开：
设$n\times n$阶矩阵
$$
A=
\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\
\end{pmatrix}
$$
当$n=2$时，容易验证行列式的拉普拉斯展开是成立的.设当$n=k$时，行列式的拉普拉斯展开也成立，则当$n=k+1$时，我们来看$a_{1j}$和$a_{2j}$,两相比较，便会发现行列式的拉普拉斯展开是显然成立的.
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\
--&--&--&--&--\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\
a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
注: 设$A_{1j}$为$a_{1j}$的代数余子式，我们知道
$$|A|=a_{11}A_{11}+\cdots+a_{1n}A_{1n}$$
下面我们要证明另外一个结论:当$i>1$时，
$$a_{i1}A_{11}+\cdots+a_{in}A_{1n}=0$$证明:证明很简单.比如，当$i=3$,$n=5$时(见上面的表格)，$a_{31}a_{22}a_{34}a_{43}a_{55}$是一项.与之相应的，该项的counter part是$a_{34}a_{31}a_{22}a_{43}a_{55}$,这两项符号相反(之所以符号相反，是因为逆序数发生了变化)，因此相加之后会互相抵消为0.每一项皆如此，因此总的相加效应为0.$\Box$
行列式的乘法定理
设$A,B$都是域$F$上的$n\times n$矩阵，则
$$|AB|=|A||B|$$
证明：
$$
A=
\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}
B=
\begin{vmatrix}
b_{11}&\cdots&b_{1n}\\
b_{21}&\cdots&b_{2n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
b_{n1}&\cdots&b_{nn}
\end{vmatrix}
$$
我想证明
$$|AB^T|=|A||B^T|=|A||B|$$
$|A||B^T|=|A||B|$根据“一个行列式等于它的转置”，是成立的.所以只用证明
$$|AB^T|=|A||B|$$
这是显然的！只用好好观察一下：$|AB^T|$有的项，$|A||B|$也有.而$|A||B|$有的项，$|AB^T|$也有.而且相同项前面的符号相同.
因此$$|AB^T|=|A||B^T|$$得证.从这一点很容易推出
$$|AB|=|A||B|$$
