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  • 「陶哲軒實分析」 習題 3.4.3

    设A,B是集合X的两个子集合,并设f:X → Y是函数.证明 f(AB) ⊆ f(A)∩f(B),f(A)\f(B) ⊆ f(A\B), f(AB) = f(A)∪f(B).对于前两个命题, ⊆ 关系可以加强为 = 吗?

    证:
     
    (1)设x ∈ AB.f(x) ∈ f(A)f(x) ∈ f(B).f(x) ∈ f(A)∩f(B).即,属于AB的元素经过f的作用都属于f(A)∩f(B).所以f(AB) ⊆ f(A)∩f(B).设x ∈ f(A)\f(B).则必存在k∈ A, f(k) = x.(因为Af(A)是满射)且kB.(否则k ∈ AB,会导致x = f(k) ∈ f(A)∩f(B).)所以f(A)\f(B) ⊆ f(A\B).x ∈ AB, 易得必有f(x) ∈ f(A)∪f(B).所以f(AB)⊆ f(A)∪f(B).对于x ∈ f(A)∪f(B),当x ∈ f(A)时,可知有k ∈ A, 使得f(k) = x.x ∈ B时,可得有k ∈ B, 使得f(k) = x.所以f(A)∪f(B) ⊆ f(AB).f(AB) = f(A)∪f(B).
     
     
    (2)两个 ⊆ 都不可以加强为 = .可用如下图诠释:
     

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