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  • 「陶哲軒實分析」 習題 3.4.4

    f:X → Y是从一个集合X到另一个集合Y的函数,并设U,V是Y的子集.证明:f − 1(UV) = f − 1(U)∪f − 1(V).f − 1(UV) = f − 1(U)∩f − 1(V).f − 1(U\V) = f − 1(U)\f − 1(V).

     
    证明:
     
    x ∈ f − 1(UV),当且仅当f(x) ∈ UV.现在要说明的是:f(x) ∈ U∪V当且仅当x ∈ f − 1(U)∪f − 1(V).而这是容易证明的.
    x ∈ f − 1(UV),当且仅当f(x) ∈ UV.现在要说明的是:f(x) ∈ UV当且仅当x ∈ f − 1(U)∩f − 1(V).这也是容易证明的.
    x ∈ f − 1(U\V),当且仅当f(x) ∈ U\V.现在要说明的是:f(x) ∈ U\V当且仅当x ∈ f − 1(U)\f − 1(V).这是容易证明的.
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