给定一个带有序关系 $\leq$ 的全序集 $X$,说集合 $V\subset X$ 是开的,如果对于每个 $x\in V$,都存在一个集合 $I$,$I$ 或者是一个"区间" $\{y\in X:a<y<b\}$ ,其中 $a,b\in X$,或者是一条射线 $\{y\in X:a<y\}$,其中 $a\in X$,或者是一条射线 $\{y\in X:y<b\}$,其中 $b\in X$,或者 $I$ 是全集 $X$,使得 $x\in I$,且 $I\subseteq V$.设 $\tau$ 是 $X$ 的全体开子集的族.证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(称为序拓扑).
证明:首先,$\emptyset\in \tau$ (为什么?)其次,$X\in\tau$(为什么?).下面我来证明 $\tau$ 中任两个开集的交仍然属于 $\tau$.当这两个开集中有一者为 $\emptyset$ 或者 $X$ 时,证明是容易的.否则,仍然容易证明 $\tau$ 中两个开集的交为开集(怎么证?).现在我们来证明 $\tau$ 中的元素的任意并仍然是 $\tau$ 中的开集,这是十分简单的.因此 $(X,\tau)$ 是拓扑空间.