若$w_k=a_kb_k$,其中 \begin{equation} \label{eq:12.47} |\sum_1^na_k|\leq M(n=1,2,3,\cdots),\lim_{k\to\infty}b_k=0 \end{equation}且級數$\sum_1^{\infty}|b_k-b_{k+1}|$收斂，則級數$\sum_1^{\infty}w_k$收斂. 證明:令$b_1=c_1$,$b_{k+1}-b_k=c_{k+1}$.則題目轉化為: 若$w_k=a_k(c_1+\cdots c_k)$,其中 \begin{equation} \label{eq:12.55} |\sum_1^na_k|\leq M(n=1,2,3,\cdots),\lim_{k\to\infty}(c_1+\cdots+c_k)=0 \end{equation}且級數$\sum_1^{\infty}|c_{k+1}|$收斂.則級數$\sum_1^{\infty}w_k$收斂. 為了證明$\sum_1^{\infty}w_k$收斂，只用證明對於任意正實數$\varepsilon$來說，都存在相應的正整數$N$,使得對於壹切$p,q\geq N$,都有 \begin{align*} |\sum_{i=p}^qw_i|<\varepsilon \end{align*} 即\begin{align*}|a_p(c_1+\cdots+c_p)+\cdots+a_q(c_1+\cdots+c_q)|<\varepsilon\end{align*}即 \begin{align*} |c_1(a_p+\cdots+a_q)+\cdots+c_p(a_p+\cdots+a_q)+c_{p+1}a_q+\cdots+c_qa_q|<\varepsilon \end{align*} 只需 \begin{align*} |c_1||a_p+\cdots+a_q|+\cdots+|c_p||a_p+\cdots+a_q|+|c_{p+1}||a_q|+\cdots+|c_q||a_q|<\varepsilon \end{align*}即可.只需 \begin{align*} 2M(|c_p|+|c_{p+1}|+\cdots+|c_q|)<\varepsilon \end{align*}即可(為什麽?). 而由於$\sum_1^{\infty}|c_{k+1}|$收斂，上式在$N$足夠大的時候是可以實現的.就這樣，我們完成了證明.