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  • 纯数学教程 Page 325 例LXVIII (13)

    如果$\sum u_n^2$收敛,那么$\sum \frac{u_n}{n}$收敛.

    证明:由于$\sum u_n^2$收敛,因此对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N_0$,使得$\forall p,q\geq N_0$,都有
    \begin{equation}
    \sum_{i=p}^qu_i^2<\varepsilon
    \end{equation}
    根据柯西不等式,
    \begin{equation}
    \sum_{i=p}^q \frac{u_i}{i}\leq
    \sqrt{\sum_{i=p}^qu_i^2}\sqrt{\sum_{i=p}^q \frac{1}{i^2}}<
    \sqrt{2}\sqrt{\sum_{i=p}^qu_i^{2}}<\sqrt{2} \sqrt{\varepsilon}
    \end{equation}
    因此$\sum \frac{u_n}{n}$收敛.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3827766.html
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