如果$f$在$[a,b]$上连续，$\alpha$在$[a,b]$上是有界变差函数,则$f\in\bf {R}(\alpha)[a,b]$.
证明:由于$f$在$[a,b]$上连续，因此$f$在$[a,b]$上一致连续.即对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$\delta$,使得当$|x_p-x_q|<\delta$时，都有$|f(x_p)-f(x_q)|<\varepsilon$.现在，把$[a,b]$$n+1$等分：
$$a=x_0<\cdots<x_n=b$$
使得$\frac{b-a}{n+1}<\delta$.由于$\alpha$是$[a,b]$上的有界变差函数，因此存在常数$M$,使得对于任意分割$P$,永远成立
$$\sum_{i=0}^{n-1}|\alpha(x_{i+1})-\alpha(x_i)|<M$$
因此
$$\sum_{i=0}^{n-1}(\sup_f[x_i,x_{i+1}]-\inf_f[x_i,x_{i+1}])|\alpha(x_{i+1})-\alpha(x_i)|\leq\varepsilon M$$(为什么?)
可见，对于任意给定的正实数$h$,我们都可以选择相应的$\varepsilon\leq\frac{h}{M}$,使得$$\sum_{i=0}^{n-1}(\sup_f[x_i,x_{i+1}]-\inf_f[x_i,x_{i+1}])|\alpha(x_{i+1})-\alpha(x_i)|\leq h$$
因此$f$在$[a,b]$上R-S可积.
注:还有另一种解法是，由于$\alpha$是有界变差,因此可以使用Jordan分解定理,再结合数学分析原理 定理 6.8 .