设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实级数.并设$\alpha$是$(|a_n|^{\frac{1}{n}})_{n=m}^{\infty}$的上极限.
(a)若$\alpha<1$,则级数绝对收敛.
证明：对于任意给定的正实数$\varepsilon$,$(|a_n|^{\frac{1}{n}})_{n=m}^{\infty}$中比$\alpha+\varepsilon$大的元素只有有限个(为什么?提示:1.上极限是最大的聚点.2.聚点原理.3.反证法)，所以存在整数$N$,使得$(|a_n|^{\frac{1}{n}})_{n=N}^{\infty}$中的每一个元素都不大于$\alpha+\varepsilon$.现令$\varepsilon=\frac{1-\alpha}{2}$,由于$((\frac{\alpha+1}{2})^{n})_{n=m}^{\infty}$是绝对收敛的，所以$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是绝对收敛的.
(b)若$\alpha>1$,则$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是条件发散的.
证明：当$\alpha>1$,说明$(|a_n|)^{\frac{1}{n}})_{n=m}^{\infty}$中有无限项大于$\frac{\alpha+1}{2}$.此时必定是条件发散的.
(c)若$\alpha=1$,则不能给出任何断言.