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  • $$\int_0^{nh}x(xh)\cdots (xnh)dx=h^{n+2}\int_0^nx(x1)\cdots (xn)dx$$

    我们来探究\begin{align*}
      \int_0^{nh}x(x-h)\cdots (x-nh)dx
    \end{align*}

    \begin{align*}
      \int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx
    \end{align*}
    的关系.

    我们先来看
    \begin{align*}
      x(x-h)\cdots (x-nh)
    \end{align*}
    中$x^i$的系数$\alpha_i(h)$和
    \begin{align*}
      x(x-1)\cdots (x-n)
    \end{align*}
    中$x^i$的系数$\alpha_i(1)$的关系.显然,
    \begin{align*}
      \alpha_i(h)=h^{n+1-i}\alpha_i(1)
    \end{align*}
    我们知道,
    \begin{align*}
     x(x-1)\cdots (x-n)
    \end{align*}
    的原函数可以写成
    \begin{align*}
      \beta_{n+2}x^{n+2}+\beta_{n+1}x^{n+1}+\cdots+\beta_2x^2=\sum_{i=1}^{n+1} \beta_{i+1}x^{i+1}
    \end{align*}
    的形式.因此
    \begin{align*}
      x(x-h)\cdots (x-nh)
    \end{align*}
    的原函数可以写成
    \begin{align*}
      \sum_{i=1}^{n+1}h^{n+1-i}\beta_{i+1}x^{i+1}
    \end{align*}
    根据牛顿-莱布尼兹公式,我们知道,
    \begin{align*}
      \int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx=\sum_{i=1}^{n+1}\beta_{i+1}n^{i+1}
    \end{align*}
    可见,
    \begin{align*}
      \int_0^{nh}x(x-h)\cdots
      (x-nh)dx=\sum_{i=1}^{n+1}h^{n+1-i}\beta_{i+1}(nh)^{i+1}=h^{n+2}\sum_{i=1}^{n+1}\beta_{i+1}n^{i+1}=h^{n+2}\int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx
    \end{align*}

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3827913.html
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