该博文是 从整数到有理数 的延续.
我们看看现在的处境.我们已经构造了自然数系，整数系和有理数系.我们用公理化方法(皮亚诺公理)构造了自然数系，又用通过引进新的对象$(a,b)$,把自然数系扩张成了整数系，又通过引进新的对象$\frac{a}{b}$把整数系扩张成了有理数系.
我们把自然数系扩张成了整数系，使得自然数系与整数系的某个子结构同构.相对于自然数系来说，整数系多了负运算.整数系相对于自然数系唯一的优点就是多出了一个负运算.
我们把整数系扩张成了有理数系，使得整数系与有理数系的某个子结构同构.相对于整数系来说，有理数系多了倒数运算.
在古希腊的时候，人们一度以为世界上只有有理数系了.有一个人发现了正方形的对角线长度不可以用有理数度量，结果就被扔到海里淹死了.有理数这么受人迷信，在于它的稠密性.直观地来说，把有理数安排在数轴上，已经是密密麻麻了.
用严格的语言表达稠密性如下:对于任意给定的有理数$x$，和任意给定的正有理数$\varepsilon$,集合$\{y\in\mathbf{Q}|x-\varepsilon\leq y\leq x+\varepsilon\}$内都存在有理数.这是很简单的，因为$\frac{x+(x+\varepsilon)}{2}$就在集合内.
然而，有理数系对于数学还是不够用的.因为有理数系对于极限运算是不封闭的，而极限运算对于微积分又特别重要.因此仅仅有理数系还是不够的.我们要在有理数系的基础上发展出一个数系，这个数系除了拥有有理数的一切性质，还得关于极限运算封闭.这就是实数系.在正式构造实数系之前，我们先看一个具体的例子，该例子表明，一个收敛的数列，它里面的每一项都是有理数，但是极限却不是一个有理数.
这个例子见 $\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots $ .
那么我们怎么构造实数系呢？见下一篇博文.