设$f$在$[a,b]$上定义且有界，对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下：
$$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)\geq \varepsilon\}$$
则$J_{\varepsilon}$是闭集.
证明：要证明$J_{\varepsilon}$是闭集，即证明$J_{\varepsilon}$的所有边界点都属于$J_{\varepsilon}$.
1..若不存在边界点，则显然是闭集.
2.若边界点是孤立点，则边界点显然属于$J_{\varepsilon}$.
3.若边界点是聚点，即证明若$x\in [a,b]$,对于任意给定的正实数$\alpha$,总存在$x'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(x')<\varepsilon$，总存在$y'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(y')\geq \varepsilon$.则$w_f(x)\geq \varepsilon$.
证明是很容易的，因为假设$w_f(x)<\varepsilon$,则容易得出“总存在$y'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(y')\geq \varepsilon$”这一条不成立.可见，$J_{\varepsilon}$的所有边界点都属于$J_{\varepsilon}$,可见$J_{\varepsilon}$是闭集.
注1:下面这个命题仍成立：设$f$在$[a,b]$上定义且有界，对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下：
$$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)>\varepsilon\}$$
则$J_{\varepsilon}$是闭集.
证明和上面的完全类似.
注2:下面这个命题也成立：
设$f$在$[a,b]$上定义且有界，对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下：
$$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)\leq \varepsilon\}$$
则$J_{\varepsilon}$是开集（事实上，$J_{\varepsilon}$的孤立点根本不存在）.
证明：即证明$J_{\varepsilon}$所有的边界点都不属于自己.这是很容易证明的.
注3:下面这个命题也成立：设$f$在$[a,b]$上定义且有界，对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下：
$$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)<\varepsilon\}$$
则$J_{\varepsilon}$是开集.（同样，$J_{\varepsilon}$的孤立点根本不存在）
注4:
以上所有命题中，似乎$f$在$[a,b]$上有界这个条件都不是必要的.