陶哲轩实分析引理18.4.2：半空间是可测集

令$E=\{(x,y):y>0\}\subset \mathbb{R}^2$，则$E$是可测集.

证明：令$W=\{(x,y):y<0\}\subset\mathbb{R}^2\}$.令$T=\{(x,y):y=0\}\subset\mathbb{R}^2$.设$A$是$\mathbb{R}^2$上任意一个子集.

1. 如果$A\subset E$,则显然$m^*(A)=m^*(A\bigcap E)+m^*(A\backslash E)$.
2. 如果$A\bigcap E=\emptyset$,则显然也有$m^*(A)=m^*(A\bigcap E)+m^*(A\backslash E)$.
3. 否则，用红色线分割$E$.红色线是$X$轴.

现在我们证明

引理1：$m^*(A\backslash T)=m^*(A)$.

这是因为根据外测度的单调性，$m^*(A\backslash T)\leq m^*(A)$.根据外测度的次有限可加性,$m^*(A\backslash T)+m^*(T)\geq m^*(A)$,而且$m^*(T)=0$,可见$m^*(A\backslash T)\geq m^*(A)$.综上，$m^*(A\backslash T)=m^*(A)$.

所以，$m^*(A)=m^*(A\backslash T)=m^*(A\bigcap E)+m^*(A\bigcap W)\Box$(后面那个等号为什么成立?)

下面我证明，$m^*(A\bigcap W)=m^*(A\bigcap (W\bigcup T))=m^*(A\backslash E)$.证明和引理1的证明大同小异(同时还要用一下摩根律).因此，$m^*(A)=m^*(A\backslash E)+m^*(A\bigcap E)$.综合(1),(2),(3),可知$E$是可测集.

注1:由于$E$是可测集，$T$也是可测集(为什么$T$是可测集?)，根据可测集的并仍是可测集，可得$E\bigcup T$也是可测集.

注2:若$[a,b]$是$\bf R$上的闭区间，且$a,b\in\bf R$,则$[a,b]$在$\bf R$上可测.

证明:闭区间$[a,b]=[a,+\infty)\bigcap (-\infty,b]$,而根据注1,可知$[a,+\infty)$和$(-\infty,b]$都是可测集,根据可测集的并仍是可测集，可得$[a,+\infty)\bigcap (-\infty,b]=[a,b]$是可测的.

注3:设$a,b\in\bf R$,则$(a,b)$是$\mathbb{R}$上的可测集.

证明：根据注2，闭区间是可测集，而有限个点不会影响点集的可测性，因此$(a,b)$也是可测集.