行列式函数的求导法则

设函数$f_{ij}(x)(i,j=1,2,\cdots,n)$在区间$I$内可导，则行列式函数
\begin{equation}
f(x)=\begin{vmatrix}
f_{11}(x)&f_{12}(x)&\cdots&f_{1n}(x)\\
f_{21}(x)&f_{22}(x)&\cdots&f_{2n}(x)\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
f_{n1}(x)&f_{n2}(x)&\cdots&f_{nn}(x)\\
\end{vmatrix}
\end{equation}
也在$I$内可导，且
\begin{equation}
f'(x)=\sum_{i=1}^n \begin{vmatrix}
f_{11}(x)&f_{12}(x)&\cdots&f_{1n}(x)\\
\vdots&\vdots & &\vdots\\
f'_{i1}(x)&f'_{i2}(x)&\cdots&f'_{in}(x)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
f_{n1}(x)&f_{n2}(x)&\cdots&f_{nn}(x)\\
\end{vmatrix}
\end{equation}

证明:我们采用局部分析的方法来证明.比方说，我们来看行列式函数$f(x)$的其中一项:

\begin{equation}
f_{11}(x)f_{22}(x)\cdots f_{nn}(x)
\end{equation}

这一项的符号暂且不要理它.我们再看该项在$f(x+h)$中的对应的项

\begin{equation}
f_{11}(x+h)f_{22}(x+h)\cdots f_{nn}(x+h)
\end{equation}

这两项的符号必定相同.然后我们来看

\begin{equation}\label{eq:1}
\lim_{h\to 0} \frac{f_{11}(x+h)f_{22}(x+h)\cdots
f_{nn}(x+h)-f_{11}(x)f_{22}(x)\cdots f_{nn}(x)}{h}
\end{equation}

借鉴我们在中间人把戏中使用的技巧，我们可以把\ref{eq:1}改造为

\begin{align*}
\lim_{h\to 0} \frac{f_{11}(x+h)f_{22}(x+h)\cdots
f_{nn}(x+h)-f_{11}(x)f_{22}(x+h)\cdots
f_{nn}(x+h)+f_{11}(x)f_{22}(x+h)\cdots
f_{nn}(x+h)-f_{11}(x)f_{22}(x)\cdots f_{nn}(x)}{h}
\end{align*}

通过有限步改造，可以达到如下的形式
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n f_{11}(x)f_{22}(x)\cdots f_{ii}'(x)\cdots f_{nn}(x)
\end{equation}

对每一项皆如此.综上，定理得证.