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  • 行列式的性质

    一个行列式等于它的转置

    我举一个实例来说明.对于如下$5\times 5$的矩阵
    \begin{equation}
    \begin{pmatrix}
    a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\
    --&--&--&--&--\\
    a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\
    a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\
    a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\
    a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\
    \end{pmatrix}
    \end{equation}
    来说,它的行列式由5!=120项组成,$a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}a_{55}$是其中一项.经过转置后,这一项对应的项是$a_{31}a_{42}a_{23}a_{14}a_{55}$.易得这两项的符号其实是相同的.然后呢?然后就证完了呀!


    下面我说明为什么$a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}a_{55}$的符号和$a_{31}a_{42}a_{23}a_{14}a_{55}$的相同.我们来说明这两者的逆序数其实是相同的,这是因为,比如,$a_{13}$和$a_{41}$形成一个逆序,那么$a_{31}$和$a_{14}$也就形成了一个逆序.$a_{13}$和$a_{24}$形成了一个顺序,那么$a_{31}$和$a_{42}$也就形成了一个顺序.所以两者的逆序数是相同的.所以两者的符号是相同的.

    行列式中两行对掉,值变号

    这是很简单的,因为两行对调的时候,改变了逆序数的奇偶性.比如,对于如下的矩阵,
    \begin{equation}
    \begin{pmatrix}
    a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\
    a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\
    a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\
    a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\
    a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\
    \end{pmatrix}
    \end{equation}该矩阵的行列式里的其中一项,比如$a_{13}a_{22}a_{31}a_{45}a_{54}$,当我们把该矩阵的其中两行换掉,比如把第二行和第四行换掉之后,$a_{13}a_{22}a_{31}a_{45}a_{54}$就变成了$a_{13}a_{25}a_{31}a_{42}a_{54}$.如果原来该项是顺序,那么换一下之后就成了逆序;如果原来该项是逆序,那么换了一下之后就成了顺序.对该行列式中的每一项莫不如此.因此两行互换之后,行列式的值变号.

    若行列式的两行一样,则行列式为0

    这是很简单的,举个实例
    \begin{equation}
    \left(
    \begin{array}{ccc}
    1&2&3\\
    1&2&3\\
    7&8&9
    \end{array}
    \right)
    \end{equation}
    行列式展开的时候,其中含有一项$1\times 2\times 9$,同时会含有另外一项$2\times 1\times 9$.这两项因符号相反,会抵消.各项皆如此,因此行列式为0.

    行列式的拉普拉斯展开

    我们利用数学归纳法来证明行列式的拉普拉斯展开:

    设$n\times n$阶矩阵
    $$
    A=
    \begin{pmatrix}
    a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
    \vdots&\cdots&\vdots\\
    a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\
    \end{pmatrix}
    $$
    当$n=2$时,容易验证行列式的拉普拉斯展开是成立的.设当$n=k$时,行列式的拉普拉斯展开也成立,则当$n=k+1$时,我们来看$a_{1j}$和$a_{2j}$,两相比较,便会发现行列式的拉普拉斯展开是显然成立的.

    \begin{equation}
    \begin{pmatrix}
    a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\
    --&--&--&--&--\\
    a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\
    a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\
    a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\
    a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\
    \end{pmatrix}
    \end{equation}



    注: 设$A_{1j}$为$a_{1j}$的代数余子式,我们知道
    $$|A|=a_{11}A_{11}+\cdots+a_{1n}A_{1n}$$
    下面我们要证明另外一个结论:

    当$i>1$时,
    $$a_{i1}A_{11}+\cdots+a_{in}A_{1n}=0$$

    证明:证明很简单.比如,当$i=3$,$n=5$时(见上面的表格),$a_{31}a_{22}a_{34}a_{43}a_{55}$是一项.与之相应的,该项的counter part是$a_{34}a_{31}a_{22}a_{43}a_{55}$,这两项符号相反(之所以符号相反,是因为逆序数发生了变化),因此相加之后会互相抵消为0.每一项皆如此,因此总的相加效应为0.$\Box$

    行列式的乘法定理

    设$A,B$都是域$F$上的$n\times n$矩阵,则
    $$|AB|=|A||B|$$

    证明:
    $$
    A=
    \begin{vmatrix}
    a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
    a_{21}&\cdots&a_{2n}\\
    \vdots&\vdots&\vdots\\
    a_{n1}&\cdots&a_{nn}
    \end{vmatrix}
    B=
    \begin{vmatrix}
    b_{11}&\cdots&b_{1n}\\
    b_{21}&\cdots&b_{2n}\\
    \vdots&\vdots&\vdots\\
    b_{n1}&\cdots&b_{nn}
    \end{vmatrix}
    $$
    我想证明
    $$|AB^T|=|A||B^T|=|A||B|$$
    $|A||B^T|=|A||B|$根据“一个行列式等于它的转置”,是成立的.所以只用证明
    $$|AB^T|=|A||B|$$
    这是显然的!只用好好观察一下:$|AB^T|$有的项,$|A||B|$也有.而$|A||B|$有的项,$|AB^T|$也有.而且相同项前面的符号相同.

    因此$$|AB^T|=|A||B^T|$$得证.从这一点很容易推出
    $$|AB|=|A||B|$$

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