设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$F$是$E$的子集合，并且$x_0$是$F$的内点，如果在$F$上一切偏导数都存在并且在$x_0$处连续，那么$f$在$x_0$处可微，而且线性变换由下式确定:
\begin{equation}\label{eq:1}
f'(x_0)(v_1,\cdots,v_n)^T=v_1(\frac{\partial f}{\partial
x_{1}}(x_0))^T+\cdots+v_n(\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0))^T
\end{equation}
证明：根据《陶哲轩实分析》引理17.3.5，我们可得，
\begin{equation}
(\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0))^{T}=f'(x_0)e_j^{T}
\end{equation}
即，
\begin{equation}\label{eq:3}
(\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0))^T=f'(x_0)\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}(1位于第$j$行)
可见，
\begin{equation}\label{eq:4}
f'(x_0)=\begin{pmatrix}
*&\cdots& \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(x_0)&\cdots&*\\
*&\cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_j}(x_0)&\cdots&*\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
*&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_j}(x_0)&\cdots&*\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
其中，矩阵$f'(x_0)$的第$j(1\leq j\leq n)$列为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_j}(x_0)\\
\vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_j}(x_0)\\
\end{pmatrix}
\end{equation}这样，$f'(x)$的矩阵就已经确定下来了，一切都OK了,等式\ref{eq:1}的成立就是显然的了.
但是，上面的证明还有一个很大的缺陷.这个缺陷就是:陶哲轩实分析引理17.3.5 中方向导数与全导数的关系成立的前提是全导数存在.而在此题中，全导数的存在性我们还没有证明.也就是说，上面那个证明的实质，就是在还没有证明全导数存在性的时候，就给出了全导数的矩阵.而全导数很可能是不存在的.这就是上面那个证明的缺陷所在.事实上，上面那个有缺陷(不能说是错)的证明，没有用到题目中的一个条件:
$f$在$x_0$处偏导数连续
而这个条件的作用，就是保证$f$在$x_0$处全导数的存在性的.关于这一点，我想在下一篇博文中说明.
2012.10.16更新1:
注1:实际上，上面的证明还是稍显麻烦了.可以更简单，不用到矩阵.$f'(x_0)(v_1,\cdots,v_n)^T=f'(x_0)(v_1,\cdots,0)^T+\cdots+f'(x_0)(0,\cdots,v_n)^T$.再使用《陶哲轩实分析》引理17.3.5 即可.