设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，$x_0$是$X$的极限点，并设$f:X\to\mathbf{R}$是函数.如果$f$在$x_0$处可微，那么$f$也在$x_0$处连续.
证明：
$f$在$x_0$处可微，意味着存在实数$L$,使得
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0;x\in\mathbf{R}\backslash\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L
\end{equation}
即
\begin{equation}
\lim_{x\to
x_0;x\in\mathbf{R}\backslash\{x_0\}}(f(x)-f(x_0))=\lim_{x\to x_0;x\in\mathbf{R}\backslash\{x_0\}}L(x-x_0)
\end{equation}(根据的是极限的运算法则)
易得
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0;x\in\mathbf{R}\backslash\{x_0\}}L(x-x_0)=0
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0;x\in\mathbf{R}\backslash\{x_0\}}(f(x)-f(x_0))=0
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0;x\in\mathbf{R}\backslash\{x_0\}}f(x)=f(x_0)
\end{equation}(同样根据极限法则)
即，$f(x)$在$x_0$点连续.$\Box$