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  • 新数学丛书《连分数》 习题 3.7

    证明:若$a_1\neq 0$,则
    \begin{equation}\label{eq:2367}
    \frac{p_n}{p_{n-1}}=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1]
    \end{equation}和
    \begin{equation}\label{eq:9876}
    \frac{q_n}{q_{n-1}}=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_2]
    \end{equation}


    证明:我们先证明\ref{eq:2367}.真是神奇,竟然都倒过来了.由递推公式,当$n\geq 3$时,

    \begin{equation}
    p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}
    \end{equation}

    因此
    \begin{equation}
    \frac{p_n}{p_{n-1}}=a_n+\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}
    \end{equation}

    设$\frac{p_n}{p_{n-1}}=k_n(n\geq 2)$,因此
    \begin{equation}
    k_n=a_n+\frac{1}{k_{n-1}}
    \end{equation}
    这样就证明了$k_n=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1]$了(为什么?).


    下面来证明\ref{eq:9876}.根据递推公式,当$n\geq 3$时,
    \begin{equation}
    q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}
    \end{equation}
    因此
    \begin{equation}
    \frac{q_n}{q_{n-1}}=a_n+\frac{q_{n-2}}{q_{n-1}}
    \end{equation}
    设$\frac{q_n}{q_{n-1}}=t_n(n\geq 2)$,因此
    \begin{equation}
    t_n=a_n+\frac{1}{t_{n-1}}
    \end{equation}
    因此也有$t_n=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_2]$.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3828093.html
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