(罗尔中值定理)设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在区间$(a,b)$上可微.若$f(a)=f(b)$,则在区间$(a,b)$的某点处$f'(x)=0$.即存在$\xi$,使得$a<\xi<b,f'(\xi)=0$.
证明：根据闭区间上的连续函数有最大值可知，由于$f(x)$是闭区间$[a,b]$上的连续函数，因此$f(x)$在$[a,b]$上有最大值.设$f(\xi)$为$f$在$[a,b]$上的最大值.当$\xi\neq a$且$\xi\neq b$时，对于任意给定的正实数$\varepsilon$,我们有
$$\frac{f(\xi)-f(\xi+\varepsilon)}{-\varepsilon}\leq 0$$
因此
$$\lim_{x^+\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}\leq 0$$
还有
$$\frac{f(\xi)-f(\xi-\varepsilon)}{\varepsilon}\geq 0$$
因此
$$\lim_{x^-\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}\geq 0$$
由于$f$在$(a,b)$上可微，因此
$$\lim_{x^-\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}=\lim_{x^+\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}$$
因此
$$\lim_{x\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}=0$$
当$\xi=a$或$\xi=b$时，可得$f(a)=f(b)$是$f$在$[a,b]$上的最大值.现在该怎么办呢？没关系，现在咱不考虑$f$在$[a,b]$上的最大值了，而考虑$f$在$[a,b]$上的最小值(闭区间上的连续函数是有最小值的).然后仿照上面的证明照样得证.因此罗尔中值定理得证.
注:罗尔定理的高维推广是不成立的.即如下命题是不成立的.
设 $E$ 是 $\mathbf{R}^n$ 的开集合,并且 $T:E\to \mathbf{R}^m$ 是在$E$上的可微函数.$\forall x_1,x_2\in E$,若有 $f(x_1)=f(x_2)$,则存在 $k\in \{\lambda x_1+(1-\lambda)x_2:\lambda\in (0,1)\}$,使得 $f'(k)=0$.
微分中值定理:设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可微，则存在$\xi$,使得
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi),a<\xi<b$$
证明：构造函数
$$g(x)=f(x)-[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)+f(b)]$$
(这个函数之所以能构造出来，乃是图象启发的缘故)
易得$g(a)=g(b)=0$,根据罗尔中值定理，存在$a<\xi<b$,使得$g'(\xi)=0$,即
$$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$
得证.
注1:我认为这种方法技巧性还是太强，我认为将来我要采取这样一种方法，即不考虑XY平面上的函数，而考虑XY平面上的曲线来证明微分中指定理.我认为可导函数在旋转一定角度之后会变成可导曲线.这一点留待将来验证.(其实按这种想法走下去应该会得到柯西中值定理)
注2:微分中值定理的有限形式是：
若$a_1,\cdots,a_n$是有限个实数，则
$$\min\{a_1,\cdots,a_n\}\leq\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\leq \max\{a_1,\cdots,a_n\}$$微分中值定理的离散形式为
若$a_1,\cdots,a_n,\cdots$是可数个实数，则
$$\inf\{(a_n)_{n=1}^{\infty}\}\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\leq \limsup_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\leq\sup\{(a_n)_{n=1}^{\infty}\}$$
柯西中值定理:设函数$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上连续，在区间$(a,b)$上可微，则存在$a<\xi<b$,使得
$$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$
其中$g(a)\neq g(b)$,且$\forall t\in (a,b),g'(t)\neq 0$.
证明：即证
$$[f(a)-f(b)]g'(\xi)=[g(a)-g(b)]f'(\xi)$$
令
$$P(x)=[f(a)-f(b)]g(x)-[g(a)-g(b)]f(x)$$
则易验证
$$P(a)=P(b)$$
根据罗尔中值定理,可知存在$a<\xi<b$,使得
$$P'(\xi)=0$$
柯西中值定理得证.
注3:柯西中值定理是微分中值定理的推广，只要令$g(x)=x$就变成了微分中值定理.
注4:柯西中值定理也有其鲜明的几何意义.
注5:我发现
$$P(a)=P(b)=
\begin{vmatrix}
f(a)&g(a)\\
f(b)&g(b)
\end{vmatrix}
$$
我还发现
$$P(x)=
\begin{vmatrix}
f(a)-f(b)&g(a)-g(b)\\
f(x)&g(x)
\end{vmatrix}
$$
我相信这里二阶行列式的出现不是偶然的.行列式的出现揭示了结构.
注6:推广微分中指定理的有限形式，我们可以得到柯西中值定理的有限形式.
如图，设点1的坐标是$(a_1,b_1)$,点2的坐标是$(a_2,b_2)$,点3的坐标是$(a_3,b_3)$.则易得，在式子有意义的条件下，有
$$\min\{\frac{b_2-b_1}{a_2-a_1},\frac{b_3-b_2}{a_3-a_2}\}\leq\frac{b_3-b_1}{a_3-a_1}=\frac{(b_2-b_1)+(b_3-b_2)}{(a_2-a_1)+(a_3-a_2)}\leq \max\{\frac{b_2-b_1}{a_2-a_1},\frac{b_3-b_2}{a_3-a_2}\}$$
利用数学归纳法，可以将上式推广.
