设$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数的形式级数.则$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$收敛当且仅当对于每个实数$\varepsilon>0$,都存在整数$N\geq m$使得
$$|\sum_{n=p}^qa_n|\leq \varepsilon,\forall p,q\geq N.$$
证明：
$\Rightarrow:$设$S_k=\sum_{n=m}^ka_n$.根据定义，$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$收敛意味着$\lim_{k\to\infty}S_k=l$.其中$l$是一个实数.即对于任意给定的正实数$\frac{\varepsilon}{2}$,都存在相应的整数$N$,$\forall p,q>N$,有$$|S_p-l|\leq\frac{\varepsilon}{2}$$
且
$$|S_q-l|\leq\frac{\varepsilon}{2}$$
所以$|S_q-S_p|=|(S_q-l)-(S_p-l)|\leq |S_q-l|+|S_p-l|\leq 2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$.即
$$|\sum_{n=p}^qa_n|\leq \varepsilon$$
$\Leftarrow:$对于任意给定正实数$\varepsilon$，都存在$N\geq m$，使得
$$|\sum_{n=p}^qa_n|\leq\varepsilon,\forall p,q\geq N$$
则存在$N\geq m$,使得
$$\forall p,q\geq N,|S_p-S_q|\leq\varepsilon$$
根据柯西的收敛判别法，可知$\lim_{k\to\infty}S_k$存在.