在$x_0$处全导数可逆的函数$f:\mathbf{R^n}\to\mathbf{R^n}$的一个性质

注:该文章宣布报废,因为结论是错误的.关键的错误证明已经用红字显示.我是看了matrix67的函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间才想起自己的错误的.

 

设$f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^n$在$x_0$处可微，且$f'(x_0):\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^n$是可逆线性映射,则存在$\mathbf{R}^n$中的某个包含$x_0$的开集$E$,使得当$f$限制在$E$上时，$f:E\to f(E)$是一个双射.

 

证明:由于
\begin{equation}
\label{eq:12.16.17}
\lim_{x\to x_0;x\neq x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{||x-x_0||}=0
\end{equation}
假如不存在这样的开集$E$满足条件，即对于任意的开集$G$,都存在$x_1\in G$,且$x_1\neq x_0$,使得
\begin{equation}
\label{eq:12.17.14}
f(x_1)=f(x_0)
\end{equation}
则向量
\begin{equation}
\label{eq:12.17.15}
f'(x_0)\frac{x-x_0}{||x-x_0||}
\end{equation}会随着$x$趋于$x_0$而趋于零向量.而$\frac{x-x_0}{||x-x_0||}$是单位向量，无论该单位向量是什么方向，它经过固定的可逆映射的作用后，它的模总会大于一个给定的正实数(为什么?).因此矛盾.可见假设错误.即命题成立.

注1:根据线性逼近 ，可知，其实$f$在$x_0$附近的性状已经和线性映射$f'(x_0)$的性状很相近了，因此得出这样的结论也不是令人十分惊讶的.