本文继承着 从有理数到实数(序) .
定义1:已知有理数$x$和有理数$y$.定义$x$和$y$之间的距离为$d(x,y)=|x-y|$.当$x>y$时，$d(x,y)=x-y$.当$x=y$时，令$d(x,y)=0$.当$x<y$时，令$d(x,y)=y-x$.
定理1:(($\mathbf{Q},d)$形成一个度量空间)
1.1 $\forall x,y\in\mathbf{Q},d(x,y)\geq 0$.
1.2 $d(x,y)=0$ 当且仅当$x=y$.
1.3 $d(x,y)=d(y,x)$.
1.4 三角不等式:$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
1.1,1.2,1.3的证明都很容易.我只证明三角不等式:
令$x-y=a,y-z=b$,也就是证明$|a|+|b|\geq |a+b|$.易得$-|x|\leq x\leq |x|$.同样,$-|y|\leq y\leq |y|$.所以$-|x|-|y|\leq x+y\leq |x|+|y|$.而且容易证明$-y\leq x\leq y$ 当且仅当$ y\geq |x|$.所以$||x|+|y||\geq |x+y|$.即$|x|+|y|\geq|x+y|$.
定理2:不存在有理数$x$,使得$x*x=2$.
证明:这个命题的证明可以在任何初等数论教材上找到.
定理3:对于任意给定的正有理数$\varepsilon$,都存在有理数$x$,使得$x*x$与2的距离小于$\varepsilon$.
证明:由于$1^2<2$,$2^2>2$,我们看集合
\begin{equation}
\label{eq:4.00.33}
\{1+\frac{1}{n}k|1\leq n,n\in\mathbf{N},0\leq k\leq n\}
\end{equation}
显然，对于任意给定的$n$,都存在$k_1$,使得$0\leq k_1\leq n$,$0\leq k_1+1\leq n$.且
\begin{equation}
\label{eq:4.00.39}
(1+\frac{1}{n}k_1)^2<2,(1+\frac{1}{n}(1+k_1)^2>2
\end{equation}(为什么?)而$1+\frac{1}{n}(1+k_1)-\frac{1}{n}k_1=\frac{1}{n}$.易证对于任意给定的正有理数$\varepsilon$,总存在相应的$n$,使得$\frac{1}{n}<\varepsilon$.此时，易得$|(1+\frac{1}{n}k_1)^2-2|<\varepsilon$.因此，命题成立.
定义2:$(a_n)_{n=m}^{\infty}$是一个有理数序列.表示从集合$\{n\in\mathbf{Z} : n \geq m\}$ 到$\mathbf{Q}$ 的一个函数,对于每一个大于或等于$m$ 的整数$n$指定一个有理数$a_n$ .
定义3:(有理柯西列)一个有理数序列$(a_n)_{n=0}^{\infty}$叫做一个柯西列当且仅当对于任意 给定的有理数$\varepsilon>0$,都存在相应的$N\geq 0$ 使得对于一切$j,k\geq N$, $d (a_j,a_k ) \leq \varepsilon$ .
定义4(等价序列)等价的序列:两个序列 $(a_n )_{n=1}^{\infty}$ 和$(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的当且仅当对于任意给定的正有理数$\varepsilon$ ,存在正整数$N$ ,使对于一切$n\geq N$ 有$d( a_n , b_n) \leq \varepsilon$ .(这样的序列是存在的,因为在有理数可以任意接近).
定义5(实数)定义实数为一个新的对象$\hbox{LIM}(a_n)_{n=0}^{\infty}$,其中$(a_n)_{n=0}^{\infty}$是有理柯西列.
定义6(实数的相等)定义两个实数$\hbox{LIM} (bn)_{n=1}^{\infty}$和 $\hbox{LIM} (an )_{n=1}^{\infty}$相等:$(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 和$(a_{n})_{n=1}^{\infty}$是等价的柯西列.
我们来验证两个实数相等定义的合理性:
首先，两个有理柯西列可以等价:事实上，容易证明，当两个有理数列等价的时候，当其中一个是柯西列时，则另一个也是柯西列.
1.对称性:易得当$(b_n)_{n=1}^{\infty}$和$(a_n)_{n=1}^{\infty}$等价时，$(a_n)_{n=1}^{\infty}$和$(b_n)_{n=1}^{\infty}$等价.
2.传递性:易得当$(b_n)_{n=1}^{\infty}$和$(a_n)_{n=1}^{\infty}$等价，且$(a_n)_{n=1}^{\infty}$和$(c_n)_{n=1}^{\infty}$等价时，$(b_n)_{n=1}^{\infty}$和$(c_n)_{n=1}^{\infty}$等价.
3.自反性:显然一个有理柯西列和自己等价.
定义7:(实数的加法)$x=\hbox{LIM} (a_n)_{n=1}^{\infty}, y=\hbox{LIM}(b_n)_{n=1}^{\infty}$.定义$x+y=\hbox{LIM}(a_n+b_{n})_{n=1}^{\infty}$.
下面验证实数加法定义的合理性.
首先容易证明，两个柯西列对应项相加得到的序列仍是柯西列.
其次，验证相等的代入性,这也是容易的.即当$(b_n)_{n=1}^{\infty}$和$(c_n)_{n=1}^{\infty}$是等价的有理柯西列的时候，$\hbox{LIM}(a_n+b_n)$与$\hbox{LIM}(a_n+c_n)$是等价的有理柯西列.
定义8:(实数的乘法)设$x=\hbox{LIM}a_n$,$y=\hbox{LIM}b_n$,定义$xy=\hbox{LIM} a_nb_n$.
下面验证实数乘法定义的合理性.下面证明两个有理柯西列对应项相乘，仍是有理柯西列.
若$(b_n)_{n=1}^{\infty}$是有理柯西列，$(a_n)_{n=1}^{\infty}$也是有理柯西列，则$(a_nb_n)_{n=1}^{\infty}$也是有理柯西列.
证明并不难，关键是用到如下的式子：$a_pb_p-a_qb_q=a_pb_p-a_pb_q+a_pb_q-a_qb_q=a_p(b_p-b_q)+b_q(a_p-a_q)$.
下面验证相等的代入性:当$(b_n)_{n=1}^{\infty}$和$(c_n)_{n=1}^{\infty}$是等价的有理柯西列时，且$(a_n)_{n=1}^{\infty}$也是有理柯西列时，则$(a_nb_n)_{n=1}^{\infty}$与$(a_nc_n)_{n=1}^{\infty}$等价.
这是很容易证明的.注意在证明的时候，会用到一个结论：有理柯西列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是有界的.这个结论是十分容易证明的.
定理4: 现在表明，实数体系包含了有理数体系.
实数集合$\mathbf{R}$中有子集$\{\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}|a\in\mathbf{Q}\}$.下面我们构造映射$f:\{\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}|a\in\mathbf{Q}\}\to\mathbf{Q}$.其中$f(\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty})=a$.容易验证，当$a=b$时，$\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}=\hbox{LIM}(b)_{n=1}^{\infty}$.且$f$是满射.因此$f$是双射.
下面证明$(\{\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}|a\in\mathbf{Q}\},+)$和$(\mathbf{Q},+)$是同构的.即证明
\begin{equation}
\label{eq:4.14.51}
f(\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}+\hbox{LIM}(b)_{n=1}^{\infty})=f(a)+f(b)=a+b
\end{equation}
这个很容易.
下面证明$(\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}|a\in\mathbf{Q}\},\times)$和$(\mathbf{Q},\times)$是同构的.即证明
\begin{equation}
\label{eq:4.15.27}
f(\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}\times \hbox{LIM}(b)_{n=1}^{\infty})=f(a)f(b)=ab
\end{equation}
这是很容易的.
定义8:(实数的负运算)对于实数$x$来说，定义$-x:=(-1)x$.下面证明实数的负运算包含了有理数的负运算:
\begin{equation}
f(-\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty})=f(\hbox{LIM}(-1)_{n=1}^{\infty}\times \hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty})=f((-a)_{n=1}^{\infty})=-a
\end{equation}
因此实数的特殊子集的负运算包含了有理数的负运算.
定理5:实数关于加法和乘法构成一个交换环.证明是很容易的.
定义9：(非零实数)若柯西列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是和$(0)_{n=1}^{\infty}$不等价的柯西列，则称$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$是非零实数.
定理6:若$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$是非零实数，则必定存在正有理数$\delta$,使得存在正整数$N$,对于一切大于$N$的正整数$p$来说，$d(a_p,0)\geq \delta$.
证明很容易.
定义10：(实数的倒数运算)一个实数$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$,其中$(a_n)_{n=1}^{\infty}$和$(0)_{n=1}^{\infty}$不等价.则$(a_n)_{n=1}^{\infty}$必定和一个有理柯西列$(b_n)_{n=1}^{\infty}$等价，其中$(b_n)_{n=1}^{\infty}$的每一项都不为0.这一点是很容易证明的.现在看数列$(\frac{1}{b_n})_{n=1}^{\infty}$，易证该数列也是有理柯西列(为什么?提示:$\frac{1}{b_p}-\frac{1}{b_q}=\frac{b_q-b_p}{b_pb_q}$,而$b_p,b_q$不会太接近0)则我们定义$\hbox{LIM}(\frac{1}{b_n})_{n=1}^{\infty}$为实数$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$的倒数,记做$(\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty})^{-1}$.
下面验证实数的倒数和有理数的倒数定义是相容的.当$\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}$非零时，$a$显然非零.而且，易得
\begin{equation}
\label{eq:4.20.32}
f((\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty})^{-1})=a^{-1}
\end{equation}
因此实数的倒数和有理数的倒数是相容的.
定义11(实数的除法):$x,y$是实数，定义$\frac{x}{y}=x*y^{-1}$.该定义和有理数的除法定义是相容的，因为实数的乘法和倒数运算和有理数的都是相容的.
定理7:(实数的乘法消去律)$z$为非零实数，且$xz=yz$,则$x=y$.
证明很简单，由于$xz=yz$,因此$(xz)z^{-1}=(yz)z^{-1}$.根据实数的乘法结合律，即$x(zz^{-1})=y(zz^{-1})$.由于$zz^{-1}=1$,因此$x=y$.
下面开始定义实数的符号以及大小关系，到了现在这个地步，这简直再容易不过了.
我们定义一个实数$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$是正实数，当且仅当$(a_n)_{n=1}^{\infty}$与一个有理柯西列$(b_n)_{n=1}^{\infty}$等价，其中$(b_n)_{n=1}^{\infty}$的每一项都是正的,而且$(b_n)_{n=1}^{\infty}$与$(0)_{n=1}^{\infty}$不等价.
我们定义一个实数$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$是负实数，当且仅当$(a_n)_{n=1}^{\infty}$与一个有理柯西列$(b_n)_{n=1}^{\infty}$等价，其中$(b_n)_{n=1}^{\infty}$的每一项都是负的，而且$(b_n)_{n=1}^{\infty}$与$(0)_{n=1}^{\infty}$不等价.
我们定义一个实数$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$为0，当且仅当$(a_n)_{n=1}^{\infty}$与有理柯西列$(0)_{n=1}^{\infty}$等价.
下面验证实数的符号定义和有理数的符号定义的相容性——这是很容易验证的.不过我还是一叙为妙:
当$\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}$是正实数的时候，易得$a$是正有理数.当$\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}$是0的时候，易得$a=0$.当$\hbox{LIM}(a)_{n=1}^{\infty}$是负实数的时候，易得$a$是负有理数.所以实数的符号定义和有理数的符号定义是相容的.
定理8:(实数的三歧性)一个实数$x$,$x$必为正实数，负实数，0三者之一，且仅为其一.
证明是很简单的.留给你们:-)
定义12:(实数的序)实数$x,y$,$x>y$ 定义为 $x-y$ 是正实数.$x<y$ 定义为$x-y$ 是负实数.$x\geq y$ 表示 $x=y$ 或 $x>y$.同样可以定义 $x\leq y$.
实数序的定义和有理数序的定义很容易证明是相容的.
定理9：一切有理数序的性质对于实数也成立，即
9.11.$x<y$ $\Leftrightarrow$ $y>x$.
9.2.$x<y,y<z$,则$x<z$.
9.3.$x<y$,则$x+z<y+z$.
9.4 当$x<y$,且$z$为正实数的时候，$xz<yz$.
以上四条性质的证明都十分简单，所以留给读者:-)
定理10:(用有理数界定实数)设$x=\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$是一个正实数,则存在一个正有理数$q$使得$q\leq x$.同时存在一个正整数$N$ 使得$x\leq N$.
定理10的证明十分简单，因此留给读者.
定理11:(实数的阿基米德性质)$x$与$\varepsilon$是任意正的实数,则存在正整数$M$,使得$M\varepsilon >x$.
定理11的证明也很简单，照样留给读者:-)不过证明定理11最好要用到定理10.
定理12:给定任何两个实数$x<y$,都可以找到一个有理数$q$,使得$x<q<y$.
证明:
12.1 先令$x$是正实数.$y-x$是正实数.根据定理10，存在正有理数$c$,$c<y-x$. 故$x<x+c<y$,毕.
12.2 当$x$是零时,我们已经知道存在有理数$0 <q<y$.
12.3 当$x$是负实数,$y$是正实数时,取$q= 0$ 即可.
12.4 当$y$是非正实数时,$-x,-y$是非负实数.且因为$x<y$故$-x>-y$,根据12.1,可以找到有理数$q$,$-y<q<-x$.故$x<- q<y$.
定理12证毕.
定理13:对于每个实数$x=\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$,恰有一个整数$N$,使得$N \leq x< N+ 1$.
证明:反证法.先证存在性:假若不存在这样的$N$, 则当$N \leq x$时必有$N + 1 \leq x$.必有$N + 2 \leq X\cdots$而且,存在自然数$K$,使得$x<k$(为什么?).我们知道，
必定存在正整数$t$,使得$N+t=k$,根据数学归纳法，容易得到$N+t\leq x$,因此$k\leq x$.矛盾.可见，必定存在满足条件的$N$.
下证唯一性:假若存在$N_1,N_2\in\mathbf{Z},N_1\neq N_2$，不妨设$N_1<N_2$,使得
\begin{equation}
\label{eq:5.18.08}
N_1\leq x<N_1+1,N_2\leq x<N_2+1
\end{equation}
则由\ref{eq:5.18.08},$N_2<N_1+1$,则$N_2\leq N_1$,这与$N_1<N_2$矛盾.可见，满足条件的$N$是唯一的.
定义13(最小上界)设$E$是实数集$\mathbf{R}$的一个子集，如果$a$是$E$的一个上界，而且对于$E$的一切上界$b$来说,$a\leq b$,则称$a$为$E$的最小上界.(最小上界的定义用到了上界的概念，上界概念是：设$E$是$\mathbf{R}$的子集，且$\forall x\in E$,$x\leq p$,则称$p$为$E$的上界.)
例1：$\emptyset$的上界是任何实数，它没有最小上界.这条性质只是逻辑中“假能推出假的一个结果”：既然空集里没有任何元素，所以如果有$x\in\emptyset$,则自然可以推出$x<a(a$是任意给定的实数)了.
定理14：若$E\subseteq \mathbf{R}$,且$E$有最小上界，则最小上界是唯一的.
定理14的证明很容易.
定理15：设$E\subseteq \mathbf{R}$,且$E\neq\emptyset$(这是为了防止例1)，且$E$有上界，则$E$有最小上界.
证明:对于非空集合$E$来说，若其中有最大元素，显然该最大元素为$E$的最小上界.若$E$中没最大元素，我们对$E$进行如下扩充:对于$E$内的任意给定的元
素$x$,我们让一切不大于$x$的实数都属于$E$(当然$E$里还有比$x$大的元素).
$E$有上界$T$,令有理数$M>T$,则对于$E$内的任何一个有理数$x$,$M>x$.令$K_i^{(1)}=M-(\frac{M-x}{N})i(0\leq i\leq N)$.必定存在$i_1$使得$K_{i_1}^{(1)}$大于$E$中的所有元素，但$K_{i_1+1}^{(1)}$小于或等于$E$中的某些元素.(为什么?)而且这样的$i_1$是唯一的(为什么?)
$\forall n\geq 0$,我们令
\begin{equation}
\label{eq:5.23.26}
K_i^{(n+1)}=K_{i_n}^{(n)}-\frac{K_{i_n}^{(n)}-K_{i_n+1}^{(n)}}{N}i(0\leq i\leq N)
\end{equation}
其中$K_{i_0}^{(0)}=M,K_{i_0+1}^{(0)}=x$.\ref{eq:5.23.26}给出了一个递推公式，我们可以求得
\begin{equation}
\label{eq:6.00.41}
K_{i_n}^{(n)}=M-\frac{M-x}{N}i_1-\frac{M-x}{N\times
N}i_2-\cdots-\frac{M-x}{\underbrace{N\times N\times\cdots\times
N}_\textrm{n个N}}i_n
\end{equation}
下面来证明$(K_{i_n}^{(n)})_{n=1}^{\infty}$是有理柯西列.对于两个不相等的正整数$a,b$,设$1\leq a<b$,则
\begin{align*}
0<K_{i_a}^{(a)}-K_{i_b}^{(b)}&=\frac{M-x}{\underbrace{N\times\cdots
N}_\textrm{a+1个
N}}i_{a+1}+\cdots+\frac{M-x}{\underbrace{N\times\cdots
N}_\textrm{b个
N}}i_b\\&=N(M-x)\frac{\frac{1}{\underbrace{N\times
N}_\textrm{a个N}}(1-\underbrace{\frac{1}{N}\times
\cdots\times
\frac{1}{N}}_\textrm{b-a个
$\frac{1}{N}$})}{1-\frac{1}{N}}\\&\leq
N(M-x)\frac{\frac{1}{\underbrace{N\times \cdots\times
N}_\textrm{a个N}}}{1-\frac{1}{N}}
\end{align*}
我们知道，对于任意给定的正有理数$\varepsilon$,都存在相应的$a$，使得对于一切$a_1\geq a$,都有，$\frac{1}{\underbrace{N\times \cdots N}_\textrm{$a_1$个N}}<\varepsilon$(为什么?)可见，当$a$足够大时，$K_{i_a}^{(a)}-K_{i_b}^{(b)}$可以小于任意给定的正有理数，可见，$(K_{i_n}^{(n)})_{n=1}^{\infty}$是有理柯西列.
下面证明，$(K_{i_n}^{(n)})_{n=1}^{\infty}$是$E$的最小上界.使用反证法.如果$(K_{i_n}^{(n)})_{n=1}^{\infty}$不是$E$的最小上界，意味着存在实数$p$,$p$是$E$的上界，并且$p<(K_{i_n}^{(n)})_{n=1}^{\infty}$,且$p$是$E$的上界.然而这是不可能的，因为随着$d$的增大，$K_{i_d}^{(d)}-K_{i_d+1}^{(d)}$是可以小于任意给定的实数的.这表明，$p=(K_{i_n}^{(n)})_{n=1}^{\infty}$(为什么?),矛盾.可见，$(K_{i_n}^{(n)})_{n=1}^{\infty}$是$E$的最小上界.
定义14:实数的自然数次幂的定义于有理数的自然数次幂的定义是相同的，都是采用数学归纳法定义的.易知实数的自然数次幂与有理数的自然数次幂的定义是兼容的.非零实数的整数次幂的定义也与非零有理数的整数次幂的定义是一样的，易知实数的整数次幂与有理数的整数次幂的定义是兼容的.
定义15:(实数的距离)对于实数$x,y$来说，定义$d(x,y)=|x-y|$.其中$|x-y|$的定义与有理数情形时一样.易得实数的距离定义与有理数距离的定义是兼容的，而且有理数和距离有关的性质，对于实数都成立.
定义16： 实数的$n$次根:设$x$是正实数，并设$n$是正整数，定义$x^{\frac{1}{n}}$为集合$E=\{y\in\mathbf{R}|y\geq 0,y^n\leq x\}$的最小上界.
下面验证定义是合理的.首先，$E$是非空集合，这是因为显然$0\in E$.其次，我要验证$E$有上界.令有理数$M>\max\{x,1\}$,则易得$M^n>x$,于是$y^n<M^n$,即$y<M$.所以$M$是$E$的一个上界.因此$E$有唯一的最小上界,因此$x^{\frac{1}{n}}$的定义是合理的.
注1：在此，我们还得检验一下定义的兼容性，此处对于$x^{\frac{1}{n}}$的定义和对$x^n$的定义有一处交叉的地方，就是当$n=1$时，按照对$x^n$的定义，$x^1=x^0x=1x=x$.而容易验证$x^{\frac{1}{1}}$也等于$x$.因此定义是兼容的.
定理16：$x$是正实数，$n$是正整数，则$(x^{\frac{1}{n}})^n=x$.
引理16.1 对于任意给定的实数$t>1$,和任意给定的自然数$n$，必定存在正整数$k$,使得$1<(1+\frac{1}{k})^n<t$.
证明:$\Leftrightarrow:(1+\frac{1}{k})^n-1<t-1\Leftrightarrow\frac{1}{k}[(1+\frac{1}{k})^{n-1}+(1+\frac{1}{k})^{n-2}+\cdots+1]<t-1$.当$k$足够大时，$1+\frac{1}{k}<t$,此时，$(1+\frac{1}{k})^{n-1}+(1+\frac{1}{k})^{n-2}+\cdots+1<t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1$.可见，我们只用让$\frac{1}{k}[t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1]<t-1$即可，这是容易的，我们只用让$k>\frac{t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{t-1}$即可.
引理16.2 下证若$0<x<a^n$,则存在实数$b$,使得$x<b^n<a^n$.
这个引理等价于，若$\frac{a^n}{x}>1(a,x\in\mathbf{R^{+}})$,则存在实数$b$,使得$\frac{a^n}{x}>\frac{a^n}{b^n}>1$.令$t=\frac{a^n}{x}$,由引理16.1，我们得存在正整数$k$使得$1<(1+\frac{1}{k})^n<t$.令$b=\frac{a}{1+\frac{1}{k}}$即可.
现在来证明原命题：假若$(x^{\frac{1}{n}})^n<x$,则由引理16.2，存在实数$b$使得$(x^{\frac{1}{n}})^n<b^n<x$,则$b$属于$E$且大于$E$的最小上界，矛盾.因此$(x^{\frac{1}{n}})^n\geq x$.假若$(x^{\frac{1}{n}})^n>x$,则由引理16.2，存在实数$b$,$x<b^{n}<(x^{\frac{1}{n}})^n$.则$b$是$E$的上界，且小于$E$的最小上界，矛盾.综上，$(x^{\frac{1}{n}})^n=x$.
定理17 若$x,y\in\mathbf{R}^{+}$,若$y^n=x$,则$y=x^{\frac{1}{n}}$.
证明:若$y<x^{\frac{1}{n}}$,则$y^n<(x^{\frac{1}{n}})^n=x$,矛盾.同理可得$y$不会大于$x^{\frac{1}{n}}$,因此$y=x^{\frac{1}{n}}$.
定理18：若$x$是正实数，则$x^{\frac{1}{n}}$是正实数.
这是显然的，因为，首先$x^{\frac{1}{n}}$不小于0，而且易得$x^{\frac{1}{n}}$不等于0，于是只能是正实数.
定理19：当$x,y\in\mathbf{R^{+}}$时，$x>y$当且仅当$x^{\frac{1}{n}}>y^{\frac{1}{n}}$.
证明是容易的.
定理20：如果$x>1$,则$x^{\frac{1}{k}}$是$k$的减函数，如果$x<1$,$x^{\frac{1}{k}}$是$k$的增函数，如果$x=1$,则对于一切$k$,$x^{\frac{1}{k}}=1$.
证明:当$x>1$时，设$k_1<k_2$,则$(\frac{x^{\frac{1}{k_1}}}{x^{\frac{1}{k_2}}})^{k_1k_2}=\frac{(x^{\frac{1}{k_1}})^{k_1k_2}}{(x^{\frac{1}{k_2}})^{k_1k_2}}=\frac{x^{k_2}}{x^{k_1}}$.易得$\frac{x^{k_2}}{x^{k_1}}>1$,因此$\frac{x^{\frac{1}{k_1}}}{x^{\frac{1}{k_2}}}>1$,即$x^{\frac{1}{k_1}}>x^{\frac{1}{k_2}}$.
当$x<1$时，设$k_1<k_2$,则$(\frac{x^{\frac{1}{k_1}}}{x^{\frac{1}{k_2}}})^{k_1k_2}=\frac{(x^{\frac{1}{k_1}})^{k_1k_2}}{(x^{\frac{1}{k_2}})^{k_1k_2}}=\frac{x^{k_2}}{x^{k_1}}<1$,因此$\frac{x^{\frac{1}{k_1}}}{x^{\frac{1}{k_2}}}<1$,即$x^{\frac{1}{k_1}}<x^{\frac{1}{k_2}}$.当$x=1$时，显然$\forall k\in\mathbf{N^{+}}$,$x^{\frac{1}{k}}=1$.
定理21:$(xy)^{\frac{1}{n}}=x^{\frac{1}{n}}y^{\frac{1}{n}}.$
证明:$(x^{\frac{1}{n}}y^{\frac{1}{n}})^n=(x^{\frac{1}{n}})^n(y^{\frac{1}{n}})^n=xy$,因此$x^{\frac{1}{n}}y^{\frac{1}{n}}=(xy)^{\frac{1}{n}}$.
定理22:$x\in\mathbf{R^{+}}$,$n,m\in\mathbf{N^{+}}$,则$(x^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}}=x^{\frac{1}{mn}}$.
证明:$[(x^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}}]^{mn}=(x^{\frac{1}{n}})^n=x$.因此$(x^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}}=x^{\frac{1}{mn}}$.
定义17:(实数的有理数次幂)$x$为正实数，$q$是有理数，$q$可以表示为$\frac{a}{b}$(令$a$为整数，$b$为正整数).$x^q:=(x^{\frac{1}{b}})^a$.
下面验证定义的合理性:因为有理数$q$表示成$\frac{a}{b}$的方式不是唯一的，因此我们要验证不同的表示方式所产生的结果是相等的.
验证:已知$a_1,a_2$是整数，$b_1,b_2$是正整数，$x$是正实数.且$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}$,求证$(x^{\frac{1}{b_1}})^{a_1}=(x^{\frac{1}{b_2}})^{a_2}$.
证明:$[(x^{\frac{1}{b_1}})^{a_1}]^{b_1b_2}=x^{a_1b_2}$.$[(x^{\frac{1}{b_2}})^{a_2}]^{b_1b_2}=x^{a_2b_1}$.而由于$a_1b_2=a_2b_1$,因此$x^{a_1b_2}=x^{a_2b_1}$,因此$(x^{\frac{1}{b_1}})^{a_1}=(x^{\frac{1}{b_2}})^{a_2}$.
由于实数的有理数次幂定义了$x^{\frac{1}{n}}$,而实数的$n$次根也定义了$x^{\frac{1}{n}}$，两种定义显然是兼容的.
实数的有理数次幂定义了$x^n$,而实数的整数次幂也定义了$x^n$,下面验证它们的定义是兼容的，因为$n=\frac{n}{1}$,因此按照实数的有理数次幂的定义，$x^n=x^{\frac{n}{1}}=(x^{\frac{1}{1}})^{n}=x^n$.因此定义是兼容的.
定理23:(实数的有理数次幂的性质)
23.1 $x$为正实数，$q$为有理数，则$x^q$是正实数.
证明:令$q=\frac{a}{b}$,其中$b$为正整数，$a$为整数.则$x^q=x^{\frac{a}{b}}=(x^{\frac{1}{b}})^a$.易得$x^{\frac{1}{b}}$为正实数，所以易得$(x^{\frac{1}{b}})^a$也为正实数.
23.2 $x^{q+r}=x^qx^r$.
证明:令$q=\frac{a}{b}$,$r=\frac{c}{d}$,其中$a,b$是整数，$b,d$是正整数.则$(x^{q+r})^{bd}=x^{ad+bc}$.而$(x^qx^r)^{bd}=(x^q)^{bd}(x^r)^{bd}=x^{ad}x^{bc}=x^{ad+bc}$.
23.3 $(x^q)^r=x^{qr}$.
证明:设$q=\frac{a}{b}$,$r=\frac{c}{d}$,其中$a,b\in\mathbf{Z},c,d\in\mathbf{Z^{+}}$.则$(x^q)^r=(x^{\frac{a}{b}})^{\frac{c}{d}}$.因此易得$[(x^q)^r]^{bd}=x^{ac}$.而$(x^{qr})^{bd}=x^{ac}$,因此$(x^q)^r=x^{qr}$.
23.4 $x^{-q}=\frac{1}{x^q}$.
容易证明.
23.5 若$q>0$,则$x>y$当且仅当$x^q>y^q$.
证明:$\Rightarrow$令$q=\frac{a}{b}$,其中$a,b\in\mathbf{Z^{+}}$.则$(x^q)^b=(x^{\frac{a}{b}})^b=x^a$.$(y^q)^b=y^a$.显然，$x^a>y^a$,因此$x^q>y^q$.
$\Leftarrow:$$x^{\frac{a}{b}}>y^{\frac{a}{b}}$,说明$x^{\frac{1}{b}}>y^{\frac{1}{b}}$,说明$x>y$.
23.6 如果$x>1$,则$x^q>x^r$当且仅当$q>r$.如果$x<1$,那么$x^q>x^r$当且仅当$q<r$.
证明:1.$\Rightarrow:$令$q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}$,其中$b,d$是正整数,$a,c$是整数.欲证$x^q>x^r$,只用证$x^{\frac{a}{b}}>x^{\frac{c}{d}}$.只用证明$(x^{\frac{a}{b}})^{bd}>(x^{\frac{c}{d}})^{bd}$.即证明$x^{ad}>x^{bc}$.由于$ad>bc$,因此$x^{ad-bc}>1$,即$x^{ad}>x^{bc}$.原命题得证.
$\Leftarrow:$把上面的过程逆过来就可以得证.
2.模仿上面的证明可以得证.
定义18:(实柯西列)对于实数列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$来说，若对于任意给定的正实数$\varepsilon$, 都存在正整数$N$,使得对于一切$m,n\geq N$,都有$|a_m-a_n|\leq\varepsilon$,则称$(a_n)_{n=1}^{\infty}$为实柯西列.
下面证明有理柯西列是实柯西列，这是很简单的.关键是用到如下性质：对于任意给定的正实数$\varepsilon$,总存在正有理数$\delta$,使得$\delta<\varepsilon$.
定义19:(实数序列的收敛)实数序列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是收敛于实数$l$的，当且仅当对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得$\forall n>N$,都有$|a_n-l|<\varepsilon$.$l$称为实数列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$的极限.
注2：由于实数序列的收敛是新的概念，我们并没有定义有理数列的收敛，因此相容性的验证就不必了.
定理24:若实数列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$收敛于实数$l$,则$l$是唯一的.
定理24的证明很容易.
定理25：收敛的实数列是实柯西列.
定理25证明很容易.
定理26：设$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是有理柯西列，则$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是实柯西列(已证)，且收敛到实数$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$.
证明很容易，略去.
定理27：一个实数列是实柯西列当且仅当它是收敛的.
$\Leftarrow:$已经证明.
$\Rightarrow:$很容易.
本博文的后续博文是 实数的构造(后记)