本博文是 从自然数到整数的自然延续
定义1(有理数):整数 $a,b$. 形如$\frac{a}{b}$的数叫有理数.其中$b\neq 0$ .在这里，$\frac{a}{b}$只是我们引入的一个不加定义的新对象而已.两个有理数$\frac{a}{b},\frac{c}{d}$相等的定义是$ad=bc$.
下面验证有理数相等的定义是合理的.
1.$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, 则$\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$
证 :$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$表明$ad=bc$,因此$cb=da$,因此$\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$.
2.$\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$.
证:因为$ab=ba$,所以$\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$.
3.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$,则$\frac{a}{b}=\frac{e}{f}$.
证:已知$ad=bc,cf=de$,下面我们证$af=be$.我们知道，$adf=bcf=bde$,可见，$d(af-be)=0$,即$af=be$(因为$d\neq 0$).因此$\frac{a}{b}=\frac{e}{f}$.
定义2(有理数的和)$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.
定义合理性:当$\frac{m}{n}=\frac{a}{b}$时，$\frac{m}{n}+\frac{c}{d}=\frac{md+nc}{nd}$. 下 证 :$\frac{md+nc}{nd} =\frac{ad+bc}{bd}$.只用证明$(md+nc)b=(ad+bc)n$即可，只用证明$mbd+nbc=adn+bcn$即可.由于$mb=na$,因此$mbd+nbc=nad+nbc=adn+bcn$.因此有理数的和定义合理性得证.
定义3(有理数的乘积)$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.
定义的合 理 性 : 1.首先，$b$和$d$都不为0时，$bd$也不为0.
2.令$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$.$\frac{m}{n}*\frac{c}{d}=\frac{mc}{nd}$.下证$\frac{mc}{nd}=\frac{ac}{bd}$,即证$mcbd=ndac$.由于$an=bm$,所以
$mcbd=ndac$. 综上可见有理数的乘积定义是合理的.
注:有理数加法和乘法交换律易证,所以在验证定义2和定义3的合理性时，只用代入其中一个即可.
定义4:(负运算)$-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}$.
定义合理性验证:令$\frac{m}{n}=\frac{a}{b}$,$-\frac{m}{n}=\frac{-m}{n}$.下证:$\frac{-m}{n}=\frac{-a}{b}$,即证$n(-a)=(-m)b$即证$na= m b$.毕.
定理1:有理数包含整数，即有理数的某个自己与整数同构.更精确地叙述如下:设有理数集$\mathbf{Q}$的子集$\{\frac{m}{1}|m\in \mathbf{Z}\}$,定义双射$f:\{\frac{m}{1}|m\in\mathbf{Z}\}\to \mathbf{Z}$如下:$f(\frac{m}{1})=m$.(可以验证$f$的定义是合理的，当$m\neq n$时，$f(\frac{m}{1})\neq f(\frac{n}{1}))$,且易得$f$是满射).
1.$f(\frac{m}{1}+\frac{n}{1})=f(\frac{m}{1})+f(\frac{n}{1})$
2.$f(\frac{m}{1}*\frac{n}{1})=f(\frac{m}{1})*f(\frac{n}{1})$.
3.$f(-\frac{m}{1})=-f(\frac{m}{1})$.
而到目前，关于有理数和整数的运算还只有这些，可见，就目前来说，$\{\frac{m}{1}|m\in\mathbf{Z}\}$与$\mathbf{Z}$是同构的.
定义5:(倒数运算)易证$\frac{a}{b}$为0 当且仅当$a=0$.$\frac{a}{b}$不为0时,定义$\frac{b}{a}$为$\frac{a}{b}$的倒数,有理数$x$的倒数记为$x^{-1}$.
下面验证有理数的倒数运算定义成功:当$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$时，下证$\frac{b}{a}=\frac{n}{m}$.即已知$an=bm$时证明$bm=an$.这是显然成立的.
定理2:(有理数集构成域)若$x,y,z$是有理数.
1 $x+y=y+x$.证明很简单.
2 $( x+y ) +z=x+(y+z)$.
证 : 令 $x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d},z=\frac{e}{f}$. 易 得 $( x+y )+z=\frac{adf+bcf+bde}{bd f}$.现在$a \rightarrow c,b \rightarrow d,c\rightarrow e,d \rightarrow f.e \rightarrow a,f \rightarrow b$. 得结果相等.可见结合律成立.
3 $0 +x=x+0=x$.
4$ x+(-x)=(-x)+x=0$.
5. 有理数的乘法交换律$xy=yx$.
6.有理数的乘法结合律$(xy)z=x(yz)$.
7.$ 1*x=x*1=x$.
8. 乘法分配律:$a(b+c)=ab+ac,y(x+z)=yx+yz$.
8 $x$不为$0$时，$ x^{-1}*x=1$.
定义6:(两个有理数的商):$ x,y$是有理数,$y \neq 0$ 时,易得$\frac{x}{y}=x*y^{-1}$,可知对于整数$a,b$来说，有理数$\frac{a}{b}$可以表达成$a*b^{-1}$.
定义7:定义一个有理数$x$是正的当且仅当对于某两个正整数$a,b$,有$x=\frac{a}{b}$,是负的当且仅当对于某个正有理数数$y$有$x=-y$.容易验证，有理数的正负与整数的正负的定义是相容的.
定理3:(有理数的三歧性)一个有理数,要么是正的,要么是负的,要么是零,三者仅居其一.
证:对于$\frac{a}{b}$,$a$与$b$ 分为以下情况:
1. $a$ 为正整数,$b$ 为正整数.
2.$a$ 为正整数,$b$ 为负整数.
3. $a$ 负整数,$b$ 正整数
4. $a$ 负整数,$b$ 为负整数.
5. $a$ 为0.
易得,2可以化作3, 4 可以化作1 .情况1 时，$\frac{a}{b}$为正有理数,情况3时，$\frac{a}{b}$是负有理数. 情况5时为0.
下证三种情况仅居其一:仅考虑 1 , 3 , 5 :
假设1,3能共存,则 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.($a,b,d$ 为 正自然数,$c$为 负 整 数),则$ad=bc$.$a=(a,0),d=(d,0),b=(b,0),c=(0,m)$($m$为正整数).则得$ad+b m= 0$.矛盾.因此1,3不能同时成立.
假设1,5能共存，则$(a,b )=(0,1)$($a,b$ 为正整数).则$a=b*0=0$. 矛盾. 因此1,5不能共存.
假设3,5能共存，则$(a,b )=(0,1)$($a$ 为负整数,$b$为正整数)则$a= 0$,矛盾.因此3，5不能同时成立.
综上，有理数的三歧性得证.
定义8:(有理数序的定义)有理数$x>y$当且仅当$x-y$为正的有理数,$x<y$当且仅当$x-y$为负的有理数.
下面验证有理数序的定义与整数序的定义相容,因为:$x$和$y$为整数时,即$x=\frac{a}{1}$,$\frac{b}{1}$.$x-y=\frac{a-b}{1}$.当$x>y$时,即$x-y$为正有理数时,$a-b $为正整数,得$a>b$.$x<y$时,即$x-y$为负有理数时,$a-b$ 是负整数即$b-a$是正整数,故$a<b$.
定理4:有理数序的性质
4.1:有理数序的三歧性:两个有理数$a,b$.必有$a<b$ 或$a>b$ 或$a=b$.且三者仅居其一.
证:令$a=\frac{m}{n},b=\frac{p}{q}$,其中$m,n,p,q\in\mathbf{Z}$.则$a-b=\frac{mq-np}{nq}$.不妨设$n,q$都为正整数,则当$m q-np$为正整数时$a-b$ 是正有理数，此时$a>b$.当$m q-np= 0$ 时$a=b$ .$mq-np$为负整数时$\frac{mq-np}{nq}$为负有理数，此时 $a<b$.
下面证明唯一性.假如有两个同时成立,则$m q-np$就有两种符号,与整数的三歧性矛盾.
4.2 $x<y\Leftrightarrow y>x$
证:$\Rightarrow:$由于$x<y$,设$x-y=\frac{m}{n}$,其中$\frac{m}{n}$为正有理数.则易得$y-x=-\frac{m}{n}$.易得$-\frac{m}{n}$是负有理数.可见，$y>x$.
$\Leftarrow$:思路与上面相近.
4.3 $x<y,y<z,$ $\Rightarrow$ $x<z$.
证:$y-x=k_1$($k_{1}$为正有理数 ),$z-y=k_2$($k_2$ 为正有理数 ).则$(y-x)+(z-y)=z-x=k_1+k_2$,而两正有理数之和易证仍为正有理数，因此$x<z$.
4.4 $x<y \Rightarrow x+z<y+z $
证:$(y+z)-(x+z)=y-x=k_1$($k_1$为正有理数)(由性质4.2).因此$x+z<y+z$.
4.5 $x<y$,$z$为正有理数，则$ xz<yz$.(若$z$为负有理数,则$xz>yz$).
证1 :$yz-xz=z(y-x)$.而两个正有理数相乘仍为正比例数，因此$yz>xz$.
证2 :$xz-yz=z(x-y)$.两个负的有理数相乘为正的有理数，因此当$z$为负有理数时，$xz>yz$.
定义9：自然数次幂的指数运算:有理数$x$,定义$x^0=1$,假设已经知道如何定义$x^n$,则令$x^{n+1}=x^nx$.根据数学归纳法，有理数的任意自然数次幂的指数运算都已经定义.
指数运算性质:
9.1.$n,m\in\mathbf{N},x\in\mathbf{Q}$,$x^nx^m=x^{n+m}$.
证明:归纳法.当$m=0$时，$x^n\times 1=x^n=x^{n+0}$.假设$x^nx^k=x^{n+k}(k\in\mathbf{N})$,则$x^nx^{k+1}=x^n(x^kx)=(x^nx^k)x=x^{n+k}x=x^{n+(k+1)}$.因此，对于一切自然数$m$有$x^nx^m=x^{n+m}$.
9.2.$n,m\in\mathbf{N},x\in\mathbf{Q}$,$(x^n)^m=x^{nm}$.
证明:对$m$归纳.$m=0$时，命题显然成立.设$(x^n)^k=x^{nk}$,则$(x^n)^{k+1}=(x^n)^kx^n=x^{nk}x^n=x^{n(k+1)}$(根据1).可见，2成立.
9.3.$x,y\in\mathbf{Q},n\in\mathbf{N}$,$(xy)^n=x^ny^n$.
证明:对$n$归纳.当$n=0$时命题显然成立.设当$n=k$时命题也成立，即$(xy)^k=x^ky^k$,则$(xy)^{k+1}=(xy)^k(xy)$(根据1)=$(x^ky^k)(xy)=x^{k+1}y^{k+1}$.因此3成立.
9.4.$x\in\mathbf{Q},n\in\mathbf{N}$,则$x^n=0$当且仅当$x=0$.
$\Rightarrow:$若$x\neq 0$,则由数学归纳法易得$\forall n\in\mathbf{N}$,$x^n\neq 0$,矛盾.可见，$x=0$.
$\Leftarrow:$利用数学归纳法易得.
9.5.$x,y\in\mathbf{Q}$,$n\in\mathbf{N}$.若$x\geq y\geq 0$,则$x^n\geq y^n\geq 0$.
证明:$x^n,y^n$的非负性利用数学归纳法是很容易证明的.下面利用数学归纳法证明$x^n\geq y^n$.首先，当$n=0$时命题成立.设当$n=k$时命题成立，则
当$n=k+1$时，$x^{k+1}=x^kx\geq x^ky\geq y^ky=y^{k+1}$.由数学归纳法，命题成立.
9.6.$x>y\geq 0$,$x,y\in\mathbf{Q}$,$n\in\mathbf{N}^{+}$.则$x^n>y^n\geq 0$.
模仿5，该命题很容易证明.
定义10 (负整数次幂的指数运算)$x$是一个非零有理数，对于任何负整数$-n$,定义$x^{-n}:=\frac{1}{x^n}$.
下面，设$x,y$都是非零有理数，$n,m$是整数，则
10.1.$x^nx^m=x^{n+m}$.
证明:当$n,m$都为自然数时，已经证明成立.$n,m$都是负整数时，
\begin{equation}
\label{eq:6.20.43}
x^nx^m=\frac{1}{x^{-n}}\frac{1}{x^{-m}}=\frac{1}{x^{-(n+m)}}=x^{n+m}
\end{equation}
当$m$为自然数，$n$为负整数时,如果$n+m\geq 0$,则$\frac{x^{n+m}}{x^n}=x^{n+m}x^{-n}=x^m$.
如果$n+m<0$,则$\frac{x^{n+m}}{x^n}=x^{n+m}x^{-n}=\frac{x^{-n}}{x^{-(n+m)}}=x^m$(为什么?提示：因为$x^mx^{-(n+m)}=x^{-n}$)
10.2.$(x^n)^m=x^{nm}$.
证明:当$m$为负整数，$n$为自然数时，$(x^n)^m=\frac{1}{(x^n)^{-m}}=\frac{1}{x^{-mn}}=x^{mn}$.
引理:当$a,b$是非零有理数，$m$是自然数时，$\frac{a^m}{b^m}=(\frac{a}{b})^m$.
引理证明:$\Leftrightarrow (a\times b^{-1})^m=a^m\times (b^m)^{-1}\Leftrightarrow a^m\times (b^{-1})^m=a^m\times
(b^m)^{-1}\Leftrightarrow (b^m)^{-1}=(b^{-1})^m\Leftrightarrow (b^m)^{-1}b^m=(b^{-1})^mb^m\Leftrightarrow 1=1^m$.成立.
当$m,n$都为负整数时，$(x^n)^m=\frac{1}{(x^n)^{-m}}=\frac{1}{(\frac{1}{x^{-n}})^{-m}}=\frac{1}{\frac{1}{x^{mn}}}=\frac{1}{x^{-mn}}=x^{mn}$.
10.3.$(xy)^n=x^ny^n$.
证明:只用证$n$为负整数的情形，$(xy)^n=\frac{1}{(xy)^{-n}}=\frac{1}{x^{-n}y^{-n}}=\frac{1}{x^{-n}}\frac{1}{y^{-n}}=x^ny^n$.
10.4.若$x\geq y>0$,则当$n$为正时，$x^n\geq y^n>0$,当$n$为负时，$x^n\leq y^n$.
证明很简单.
10.5.若$x,y\geq 0$,$n\neq 0$,则$x^n=y^n$可以推出$x=y$.
证明:当$n> 0$时，若$x\neq y$,则不妨设$x<y$(有理数序的三歧性)，则可得$x^n<y^n$.矛盾.可见当$n>0$时，$x=y$.当$n<0$时，由$x^n=y^n$可得$x^{-n}=y^{-n}$,此时化归为已解决情形，可见仍然有$x=y$.
该博文的延续是 从有理数到实数.