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  • 陶哲轩实分析习题18.4.10

    设$A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^n$,$B$是$\mathbb{R}^n$上的勒贝格可测集,且测度为0,则$A$可测且$A$的测度为0.


    证明:由于$m^*(B)=0$,根据外测度的单调性,$m^*(A)\leq m^*(B)=0$.下证$A$是可测的.即证$\forall M\subseteq \mathbb{R}^n$,有
    $$m^*(M)=m^*(M\backslash A)+m^*(M\bigcap A)$$由于$m^*(M\bigcap A)\leq m^*(A)$,因此$m^*(M)=0$.因此只用证

    $$m^*(M)=m^*(M\backslash A)$$
    这是容易的.因为
    $$m^*(M)\geq m^*(M\backslash A)$$
    下证
    $$m^*(M)\leq (M\backslash A)$$
    这是容易的,因为根据外测度的次有限可加性,
    $$m^*(M\backslash A)+m^*(A)\geq m^*(A)$$

    $$m^*(M\backslash A)\geq m^*(A)$$
    证毕.

    注:由于零测集的子集是零测集,再加上可测集的可数可加性,我们可得可数个零测集的并也是零测集.

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