我们把黎曼积分推广一下.黎曼积分里要求对区间$[a,b]$进行任意的有限分割.我们看看对区间$[a,b]$进行任意的分割(有限或无限的分割)会发生什么事.更具体地叙述如下：
设$f$是闭区间$[a,b]$上的有界函数(之所以规定有界，是因为$[a,b]$上的无界函数不是黎曼可积的)，设$P$是对$[a,b]$的一个分割.即$\forall p\in P$,$p$都是一个闭区间，且$p\subseteq [a,b]$.且$\forall p,q\in P$,$p\mbox{的内部}\bigcap q\mbox{的内部}=\emptyset$.且$\bigcup_{p\in P}p=[a,b]$.$\forall p\in P$,设$f$在$p$上的上确界为$\sup p$,在$p$上的下确界为$\inf p$(为什么存在上确界和下确界?).记区间$p$的长度为$|p|$.定义$f$在区间$[a,b]$上关于分割$P$的上和为$$\sum_{p\in P}|p|\sup p$$关于分割$P$的下和为$$\sum_{p\in P}|p|\inf p$$易得对于每个分割$P$,都存在上和与下和，把上和记为$U(f,P)$,下和记为$L(f,P)$.且分割$P$的上和与下和都不可能是$+\infty$或$-\infty$(为什么?)
两个对区间$[a,b]$的分割$P'$,$P''$,若$\forall v\in P'$,都$\exists h\in P''$,使得$v\subset h$.且$\exists v\in P'$,$\exists h\in P''$,使得$v$真含于$h$.则称分割$P'$是分割$P''$的加细.
定理1：若对$[a,b]$的分割$P'$是分割$P''$的加细，则$U(f,P')\leq U(f,P'')$.
既然是练习，证明留给读者.
还有一个相对应的结论：
定理2：若对$[a,b]$的分割$P'$是分割$P''$的加细，则$L(f,P')\geq L(f,P'')$.
下面定义公共加细的概念：
对$[a,b]$的两个分割$P'$与$P''$.若存在对$[a,b]$的分割$P'''$,$P'''$既是$P'$的加细，又是$P''$的加细，则称$P'''$是$P'$和$P''$的公共加细.
若对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的分割$P$,使得$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$,则称$f$在$[a,b]$上黎曼可积.
定理3：$f$在$[a,b]$上黎曼可积当且仅当$\inf(\{U(f,P):\mbox{对于所有的分割}P\})=\sup(\{L(f,P):\mbox{对于所有的分割}P\})$.
证明提示：前者推后者容易.后者推前者的话，考虑两个分割的公共加细，再使用定理1与定理2.$\Box$
当$f$在$[a,b]$上黎曼可积时，称$\inf(\{U(f,P):\mbox{对于所有的分割}P\})=\sup(\{L(f,P):\mbox{对于所有的分割}P\})$为$f$在$[a,b]$上的黎曼积分.
以上就是推广了的黎曼积分.下面我们来说明，以上推广了的黎曼积分和标准教科书上的黎曼积分是没有区别的.
我们先看标准教科书上对于黎曼积分是怎么处理的.标准教科书上的黎曼积分，就是把上述的$P$改成有限集而已.而我们推广了的黎曼积分，$P$可以是无限集.现在我们来说明，无限分割可以由有限分割来逼近：
定理4：设$P$是闭区间$[a,b]$的一个无限分割，则$P$是可数集.
证明提示:考虑建立有理数集$\mathbb{Q}$到$P$的单射.$\Box$
设$P$是闭区间$[a,b]$的一个无限分割，由定理4，设$P=\{p_1,p_2,p_3,\cdots\}$.无限分割$P$的上和$U(f,P)=\sum_{i=1}^{\infty}\sup p_i|p_i|$.易得，我们可以用一列有限分割的上和不断地趋近$P$这个无限分割的上和(怎么构造请读者自己画图.)，实际上，这个无限分割的上和其实是某个特定的有限分割上和数列的下确界(为什么?请读者自己画图并应用定理1).同样的推理可以应用于无限分割$P$的下和.因此，推广的黎曼积分和标准的教科书上的黎曼积分是等价的.