陶哲轩实分析习题17.3.4

设$f:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$是可微函数，而且对于一切$x\in\mathbf{R}^n$,$f'(x)=0$.证明$f$是常数.

证明:

由于$\forall x\in\mathbf{R}^n$,$f'(x)=0$,因此对于一切非零向量$v$,$\forall x\in\mathbf{R}^n$,\begin{equation}\label{eq:1}\mathbf{D}_{v}f(x)=0\end{equation}.设$f$的坐标形式为$(f_1,\cdots,f_m)$,则易得
\begin{equation}
\label{eq:2}
\begin{cases}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f_1(x+tv)-f_1(x)}{t}=0\\
\vdots\\
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f_m(x+tv)-f_m(x)}{t}=0\\
\end{cases}
\end{equation}
设$x_1=x_0+t_1v,x_2=x_0+t_2v$.其中$0<t_1<t_2$.我们把$f_i(x_0+tv)$看成关于实数$t$的单变量函数，记为$g_i(t)$则易得\begin{equation}\label{eq:math}g_i'(t)=0\end{equation}(为什么?).如果$f_i(x_1)\neq f_i(x_2)$,则
\begin{equation}
\label{eq:3}
\frac{f_i(x_2)-f_i(x_1)}{||x_2-x_1||}=\frac{f_i(x_2)-f_i(x_1)}{(t_2-t_1)||v||}\neq 0
\end{equation}
即
\begin{equation}
\label{eq:4}
\frac{f_i(x_2)-f_i(x_1)}{t_2-t_1}\neq 0
\end{equation}
根据拉格朗日中值定理，我们知道，存在实数$t'$,使得$g_i'(t')=\frac{f_i(x_2)-f_i(x_1)}{t_2-t_1}\neq 0$,这与\ref{eq:math}矛盾.可见，假设错误，即$\forall 1\leq i\leq m,\forall x_1,x_2\in\mathbf{R}^n,f_i(x_1)=f_i(x_2)$.

因此，$f$是常数.

注1:陶哲轩说把$f$的定义域改成$\mathbf{R}^n$中的连通开子集，命题照样成立.但是我连通开子集还没学过，因此把这个附加的挑战放到将来.

现在是2013年4月15日,我来解决这个附加的挑战.我不打算详细给出,只给出关键的引理.我们来看 $\Omega$ 在 $\mathbf{R}$ 上的投影 $\Omega_{\mathbf{R}}$,易得 $\Omega_{\mathbf{R}}$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连通开子集(为什么).因此 $\Omega_{\mathbf{R}}$ 是 $\mathbf{R}$ 上的开区间(根据陶哲轩实分析 定理 13.4.5).