我的目标是证明这个命题:设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$F$是$E$的子集合，且$x_0$是$F$的内点，如果在$F$上一切偏导数$\frac{\partial f}{\partial x_j}$都存在，且在$x_0$处连续，则$f$在$x_0$处可微.
下面，我先给出第一阶段的成果.我还会写第三篇博文，来彻底完成这个命题的证明.
证明:
由于$F$上一切偏导数存在，且在$x_0$处连续，所以对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$\delta$,使得当$||x'-x_0||< \delta$(这里为什么用小于号，而不是用等号，是有缘由的.见\ref{eq:5})时，就有$\forall 1\leq j\leq n$,
\begin{equation}\label{eq:1}
||\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x'+te_j)-f(x')}{t}-\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_j)-f(x_0)}{t}||\leq\varepsilon
\end{equation}
设向量$v=(v_1,\cdots,v_n)=v_1e_1+\cdots+v_ne_n$.则
\begin{equation}\label{eq:4}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x'+tv)-f(x')}{t}=\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ne_n)-f(x')}{t}
\end{equation}
易知，存在正实数$l$,当$t<l$的时候，有
\begin{equation}\label{eq:5}
\begin{cases}
||(x'+tv_1e_1)-x_0||<\delta\\
\vdots\\
||(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_{n-1}e_{n-1})-x_0||<\delta\\
||(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ne_n)-x_0||<\delta\\
\end{cases}
\end{equation}
方程\ref{eq:4}可以化为
\begin{equation}
\label{eq:6}
\lim_{t\to
0;t>0}\frac{\sum_{i=2}^{n}[f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ie_i)-f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_{i-1}e_{i-1})]+[f(x'+tv_1e_1)-f(x')]}{t}
\end{equation}
进一步化解\ref{eq:6}:
\begin{equation}
\label{eq:7}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x'+tv_1e_1)-f(x')}{t}+\cdots+\lim_{t\to
0;t>0}\frac{f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ne_n)-f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_{n-1}e_{n-1})}{t}
\end{equation}
根据\ref{eq:1},当$v_k\neq 0$时，
\begin{equation}
\label{eq:8}
|| \lim_{t\to
0;t>0}\frac{f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ke_k)-f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_{k-1}e_{k-1})}{tv_{k}}-\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_k)-f(x_0)}{t}||\leq \varepsilon
\end{equation}
即
\begin{equation}\label{eq:good}
|| \lim_{t\to
0;t>0}\frac{f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ke_k)-f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_{k-1}e_{k-1})}{t}-v_k\lim_{t\to
0;t>0}\frac{f(x_0+te_k)-f(x_0)}{t}||\leq |v_k|\varepsilon
\end{equation}
当$v_k=0$时，
\begin{equation}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ke_k)-f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_{n-1}e_{n-1})}{t}=0
\end{equation}
而且
\begin{equation}
v_k\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_k)-f(x_0)}{t}=0
\end{equation}
因此照样有\ref{eq:good}成立.可见，
$$\begin{split}||(\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x'+tv_1e_1)-f(x')}{t}+\cdots+\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ne_n)-f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_{n-1}e_{n-1})}{t})-(v_1\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_1)-f(x_0)}{t}+\cdots+v_n\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_n)-f(x_0)}{t})||\leq (|v_1|+\cdots+|v_n|)\varepsilon\end{split}$$
即
\begin{equation}\lim_{x'\to x_0} \mathbf{D_{v}}f(x')=v_1\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_1)-f(x_0)}{t}+\cdots+v_{n}\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_n)-f(x_0)}{t})\end{equation}
而且，由\ref{eq:pig}易得，
\begin{equation}\begin{split}\mathbf{D_{v}}f(x_0)=v_1\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_1)-f(x_0)}{t}+\cdots+v_{n}\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_n)-f(x_0)}{t}\end{split}\end{equation}