《陶哲轩实分析》引理17.3.5：方向导数与全导数的关系

设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to \mathbf{R}^m$是函数，$x_0$是$E$的内点，并设$v$是$\mathbf{R^n}$中的非零向量，如果$f$在$x_0$处可微，则$f$在$x_0$处沿$v$也可微，且
\begin{equation}
(\mathbf{D_{v}}f(x_0))^{T}=f'(x_0)v^{T}
\end{equation}

证明:

由于$f$在$x_0$处可微，因此
\begin{equation}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{(f(x_0+tv)-f(x_0))^T-f'(x_0)(tv)^{T}}{t||v||}=0
\end{equation}
即
\begin{equation}
\lim_{t\to 0;t>0}(\frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t})^T=f'(x_0)v^{T}
\end{equation}
即
\begin{equation}
(\mathbf{D_{v}}f(x_0))^T=f'(x_0)v^{T}
\end{equation}$\Box$

注:这个结论把导数直观化了.如果没有这个结论，而仅有导数的定义，那么导数在我的眼里只不过是一个抽象的线性映射.而这个结论的出现，让我对导数是什么样的线性映射有了比较直观的理解:导数是把方向向量变成方向导数的线性映射.