《陶哲轩实分析》引理17.2.4证明_导数的唯一性

设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to \mathbf{R}^m$是函数，$x_0\in E$是$E$的内点，并设$L_1:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$和 $L_2:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$都是线性变换.假设$f$在$x_0$处可微，有导数$L_1$,也有导数$L_2$,则$L_1=L_2$.

证明：

引理:
(线性逼近)见 http://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/09/13/2682715.html

根据引理，
\begin{equation}\label{eq:1}
f(x)=f(x_0)+L_1(x-x_0)+\epsilon_1(x)||x-x_0||
\end{equation}
且
\begin{equation}\label{eq:2}
f(x)=f(x_0)+L_2(x-x_0)+\epsilon_2(x)||x-x_0||
\end{equation}
其中，当$x\to x_0$时，$\epsilon_1(x)\to 0,\epsilon_2(x)\to
0$.\ref{eq:1}-\ref{eq:2}可得
\begin{equation}
L_1(x-x_0)-L_2(x-x_0)=(\epsilon_2(x)-\epsilon_1(x))||x-x_0||
\end{equation}
即
\begin{equation}\label{eq:4}
\lim_{x\to x_0}\frac{L_1(x-x_0)-L_2(x-x_0)}{||x-x_0||}=0
\end{equation}
现在，令$x-x_0=h=(h_1,\cdots,h_n)$,且线性映射$L_1$对应的矩阵为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
p_{11}&\cdots&p_{1n}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
p_{m1}&\cdots&p_{mn}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
线性映射$L_2$对应的矩阵为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
q_{11}&\cdots&q_{1n}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
p_{m1}&\cdots&p_{mn}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
则\ref{eq:4}式变为
\begin{equation}
\lim_{h\to 0}\frac{\begin{pmatrix}
p_{11}-q_{11}&\cdots&p_{1n}-q_{1n}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
p_{m1}-q_{m1}&\cdots&p_{mn}-q_{mn}\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
h_1\\
\vdots\\
h_n\\
\end{pmatrix}}{\sqrt{h_1^2+\cdots+h_n^2}}=0
\end{equation}
即
\begin{equation}\label{eq:8}
\lim_{h\to 0}\frac{\begin{pmatrix}
(p_{11}-q_{11})h_1+\cdots+(p_{1n}-q_{1n})h_n\\
\vdots\\
(p_{m1}-q_{m1})h_1+\cdots+(p_{mn}-q_{mn})h_n\\
\end{pmatrix}}{\sqrt{h_1^2+\cdots+h_n^2}}=0
\end{equation}

易得，我们总可以想办法，使得$h_1,h_2,\cdots,h_n$这$n$个数中，有一个数不为0,而其余的数都为0，同时让$h\to 0$.

如果$L_1\neq L_2$,即存在$1\leq i\leq m$,$1\leq j\leq n$,使得$p_{ij}-q_{ij}\neq 0$，则我们让$h_j\neq 0$,而让 $h_1,\cdots,h_{j-1},h_{j+1},\cdots,h_n$都为0，则\ref{eq:8}变为
\begin{equation}
\lim_{h\to 0}\frac{\begin{pmatrix}
*\\
\vdots\\
(p_{ij}-q_{ij})h_j\\
\vdots\\
*\\
\end{pmatrix}}{|h_j|}=0
\end{equation}
而我们知道，
\begin{equation}
\lim_{h_j\to 0}\frac{(p_{ij}-q_{ij})h_j}{|h_j|}\neq 0
\end{equation}
这样就导出了矛盾.由此可见，$L_1\neq L_2$的假设是错误的，可见$L_1=L_2$.